Unité imaginaire

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En mathématiques, l’unité imaginaire est un nombre complexe, noté $i$ , dont le carré vaut $- 1$ . Ses multiples par des nombres réels constituent les nombres imaginaires purs.

[modifier] Constructions

Puisque tous les nombres réels ont un carré positif, l'unité imaginaire ne peut être considérée comme un point de la droite réelle. Il existe plusieurs façons de la définir.

Sa première apparition était sous la forme de $\sqrt -1$ , écriture qui n'a pas de sens dans les nombres réels (et qui n'est d'ailleurs pas utilisée non plus dans les nombres complexes), mais qui traduisait sa propriété fondamentale. Une formalisation acceptable de cette construction n'est apparue que beaucoup plus tard, dans un quotient de l'anneau $\R[X]$ des polynômes réels par le polynôme $X 2 + 1$ .

Plus simplement, si la droite réelle est identifiée avec l'axe des abscisses dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé, l'unité imaginaire correspond au point de coordonnées $(0;1)$ , sur l'axe des ordonnées. Dans le vocabulaire des nombres complexes, $i$ est l'affixe de ce point.

Article détaillé : Nombre complexe.

[modifier] Propriétés de i

Son opposé est à la fois son inverse et son conjugué : $\frac{1}{i} = -i = \bar{i}$ . Il vérifie aussi l'égalité $( - i) 2 = - 1$ , mais le choix de l'unité imaginaire est lié à l'orientation du plan complexe.

Ses images par les fonctions trigonométriques s'écrivent :

$\cos(i)=\frac{e^{-1}+e}{2}\simeq1,54308063481524\$
$\sin(i)=\frac{e^{-1}-e}{2i}\simeq1,17520119364379i\$
$\tan(i)=-i\frac{e^{-1}-e}{e^{-1}+e}\simeq0,761594155955762i\$

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif