Infini

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L'infini (du latin finitus, « limité », noté habituellement ∞) est un concept qui s'attache à quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.

Sommaire 1 En théologie 2 En physique 3 En théorie des ensembles 3.1 Ensembles infinis dénombrables 3.2 Ensembles infinis non dénombrables 4 En géométrie 5 En topologie 6 Dans le corps des nombres réels 7 Histoire 7.1 Usage et opérabilité du concept 7.1.1 L'infini potentiel chez les anciens 7.1.2 L'infini potentiel chez les constructivistes modernes 7.1.3 L'infini actuel et le temps 7.2 Les très grands nombres 7.3 Les notations 8 Notes et références 9 Voir aussi 9.1 Articles connexes 9.2 Liens externes

[modifier] En théologie

Les religions monothéistes induisent généralement la notion d'infini (ou plus précisément les notions d'éternité et de transcendance),même si elle est moins formalisée que la notion mathématique correspondante. Une des premières manifestations de cette notion remonte à l'Égypte ancienne, au temps d'Akhénaton, autour du culte du dieu Aton^[1].

[modifier] En physique

Le concept d'infini semble extérieur à la physique. En effet force est de constater que cet infini ne joue aucun rôle pour les physiciens dans la mise en œuvre de leur méthodologie . Au contraire, le fait que ce concept fasse intrusion dans une théorie est le signe que celle-ci est incomplète, comme le montre la crise majeure que la physique a subie au début du XX^e siècle^[2]. À cette époque la physique se trouvait dans l'incapacité d'expliquer la stabilité de la matière dans le cadre de la théorie électrostatique. En effet étant constitué d'un noyau de charge positive entouré d'électrons de charge négative un atome aurait dû s'effondrer sur lui-même sous l'effet de la force de Coulomb, cette force tendant vers l’infini lorsque les charges électriques se rapprochent. La physique surmonta cette difficulté en ayant recours à une théorie atomique nouvelle, la physique quantique, dans laquelle l'atome possède un état de stabilité d'énergie finie, toute divergence étant alors éliminée.

De nos jours l'histoire se renouvelle avec le concept du Big Bang puisque cette notion conduit, dans son interprétation naïve, à l'apparition d'infinis (on parle aussi de singularités) à l'origine des temps, apportant ainsi la preuve que nos connaissances physiques actuelles ne sont pas capables de décrire cette époque lointaine de l'histoire de l'Univers.

Enfin dans plusieurs branches de la physique, comme la mécanique quantique ou la physique statistique, les chercheurs tentent d'éliminer les divergences indésirables et inacceptables de la théorie à l'aide de techniques dites de renormalisation.

[modifier] En théorie des ensembles

Un ensemble E est infini si, et seulement si, il n'est équipotent à aucun intervalle borné de , ou de façon équivalente, s'il existe au moins une famille non vide de sous-ensembles de E qui n'a pas d'élément minimal pour l'inclusion. ^[3],[4],[5]

Si l'on admet l'axiome du choix, et seulement à cette condition,^[6] tout ensemble E est en correspondance biunivoque avec un ordinal ; le plus petit ordinal auquel E est équipotent est alors par définition le cardinal de E.

La notion de nombre cardinal, qui modélise la « taille » des ensembles, s'applique aussi bien aux ensembles finis qu'aux ensembles infinis. Le cardinal (on parle aussi de puissance) des ensembles infinis dénombrables est noté (« aleph-zéro »).

[modifier] Ensembles infinis dénombrables

Un ensemble infini est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une bijection entre lui et . Intuitivement, un ensemble infini est dénombrable si, et seulement si, on peut « énumérer » ses éléments: le « premier » élément, le « deuxième » élément, le « troisième » élément, et ainsi de suite sans s'arrêter.

Par exemple, nous pouvons montrer que est dénombrable. Classons pour cela les fractions irréductibles de numérateur et dénominateur tous deux positifs de la manière suivante :

• pour toute fraction p/q, on calcule la somme p+q ;
• on classe les fractions par ordre croissant de cette somme p+q ;
• pour les fractions ayant la même somme p+q (comme 1/4 et 2/3), on les classe par ordre croissant de p ;
• ainsi on peut attribuer à chaque fraction un entier unique correspondant à son numéro d'apparition dans la liste ainsi construite, le début de cette liste serait :

1 → 0

2 → 1/1

3 → 1/2

4 → 2/1

5 → 1/3

...

Nous avons bien mis en bijection avec .

Le cardinal d'un ensemble fini est un nombre entier naturel. En revanche, le cardinal d'un ensemble infini dénombrable est dit « transfini ».

Dans l'exemple ci-dessus l'énumération des rationnels positifs est « effective » : le procédé d'énumération est un procédé calculatoire, un algorithme (décrit informellement). Mais on peut très bien avoir montré qu'un ensemble est infini dénombrable, par exemple en montrant qu'il est sous-ensemble des entiers et ne peut être fini^[7], sans être capable de donner un procédé effectif d'énumération. Cette dernière notion est étudiée dans l'article ensemble récursivement énumérable.

[modifier] Ensembles infinis non dénombrables

Un ensemble infini non dénombrable ne peut pas être mis en bijection avec . On ne peut pas établir une liste de ses éléments.

Par exemple, l'ensemble des réels compris entre 0 et 1 est non dénombrable : la démonstration s'appuie sur l'argument de la diagonale de Cantor.

On dit que a la puissance du continu, sa puissance (ou son cardinal) est (le cardinal de l'ensemble des parties de ). L'argument diagonal de Cantor montre du même coup que , le plus petit cardinal non dénombrable, est inférieur ou égal à (dans ZFC). L'égalité de ces deux cardinaux, que l'on appelle l'hypothèse du continu, est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC.

[modifier] En géométrie

Les peintres de la Renaissance, cherchant une représentation du réel qui soit fidèle à notre perception, abordèrent (sans le savoir) la question de l'infini lorsqu'ils développèrent les méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point sur le tableau; d'une part ce point du tableau ainsi que la ligne d'horizon du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D). D'autre part à la Renaissance pas plus qu'aujourd'hui nul ne peut affirmer ou infirmer que les points à l'infini de l'espace à trois dimensions (3D) correspondent à la vérité de l'univers, d'où un certain malaise. Cette problèmatique ne recouvre pas exactement la nuance entre infinis potentiel et actuel, mais a donné lieu à la géométrie projective.

La géométrie projective consiste à rajouter à l'espace affine usuel des points dits « à l'infini » dans chaque direction. Le but est de ne plus faire de distinction entre droites sécantes et droites parallèles, ces dernières ayant un point commun à l'infini. C'est un outil de simplification remarquable. À titre d'exemple, en géométrie projective, il n'existe qu'un seul type de coniques au lieu de trois.

[modifier] En topologie

L'ajout d'un élément ∞ à un espace topologique localement compact permet de rendre cet espace compact. Il s'agit de la compactification d'Alexandroff.

Soit (E,U) un espace topologique localement compact, son compactifié est l'espace , où est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans des compacts de (E,U).

On peut alors définir les « voisinages de l'infini » : il s'agit de toute partie contenant un ouvert de U' \ U.

[modifier] Dans le corps des nombres réels

Les nombres réels forment un corps commutatif totalement ordonné , archimédien et tel que toute partie majorée admette une borne supérieure ; il est unique, à isomorphismes près, à vérifier toutes ces propriétés à la fois ; c'est le sur-corps minimal de à vérifier le critère de Cauchy ; il est indénombrable.

On peut compléter le corps des nombres réels, en sacrifiant sa propriété de corps, usuellement de deux manières possibles :

• soit en le complétant du point de vue algébrique par l'ajout d'un élément ∞, qui devient formellement un inverse de 0. C'est un point fixe de l'addition et du produit en ce sens que (∀ x∈ ℝ)  x ≠ 0 ⇒  ∞ + x = ∞ ∧ ∞ × x = ∞. Par contre, le produit ∞ × 0 n'est pas défini.

On obtient ainsi l'espace projectif à 1 dimension. Dans cette complétion, le corps des réels perd son caractère ordonné, puisque l'on peut considérer ∞ aussi bien comme supérieur à tous les réels finis, que comme inférieur à tous. On peut lui assigner la topologie de compactification d'Alexandroff des réels, par la méthode précédente, ce qui lui confère la même structure topologique que la circonférence.

• par l'ajout de deux éléments ∞ et -∞. On considère que ∞ est plus grand que tous les autres nombres réels, y compris -∞ et que -∞ est plus petit que les autres éléments y compris ∞. L'ensemble ainsi obtenu est totalement ordonné, mais perd sa structure de corps, ainsi que ses propriétés algébriques. Du point de vue topologique, on peut le compactifier, tout en respectant sa structure d'ordre. Cela lui confère la même topologie qu'un intervalle fermé, par exemple [-1,1].

[modifier] Histoire

[modifier] Usage et opérabilité du concept

[modifier] L'infini potentiel chez les anciens

Les mathématiciens ont de tout temps utilisé l'appartenance et l'inclusion mais ont eu les plus grandes difficultés à associer à ces concepts ceux de nombre et de grandeur. Ils se contentaient alors de la possibilité d'augmenter toute grandeur donnée, ou de la diminuer s'il s'agit d'une grandeur continue ^[8].

C'est ainsi qu'Euclide, au lieu de dire "l'ensemble des nombres premiers est infini", dit "pour toute quantité donnée de nombres premiers, il y en a un plus grand". De même, Aristote se refuse à considérer qu'une ligne droite est "composée de points".

Galilée remarque qu'il y a une correspondance biunivoque entre les nombres et leurs carrés, d'où il déduit que l'assertion commune "le tout est plus grand que la partie" ne se vérifie pas lorsqu'on parle de quantités infinies ^[9]. Cependant, loin d'y trouver une motivation pour l'étude des ensembles infinis, il y voit la preuve du caractère non opérationnel de l'infini, position approuvée plus de deux siècles plus tard par Cauchy. ^[10] Ainsi donc, jusqu'assez avant dans l'époque moderne, les mathématiciens s'interdisaient d' utiliser directement les ensembles infinis et préféraient raisonner "en compréhension" sur les propriétés de leurs éléments. Ceci n'empêcha pas la naissance du calcul infinitésimal, donc, ainsi que le reconnaît Bourbaki, ^[11] cette position avait permis des développements importants tout en posant des garde-fous.^[12]

[modifier] L'infini potentiel chez les constructivistes modernes

Issu de la "crise des fondements" du début du XX^e siècle, le courant intuitionniste promu par Brouwer, rejette les méthodes de la logique classique, censée ne pas s'appliquer en tout cas aux objets infinis.^[13] Aujourd'hui ce terme d'intuitionniste s'applique à une axiomatisation bien précise de la logique sans tiers exclu. Une forme de philosophie mathématique qui se revendique volontiers de celle de Brouwer est celle du courant constructiviste, dont un représentant notoire, Roger Apéry a ainsi exposé la conception de l'infini :

S'il extrapole la réalité, le mathématicien constructif refuse les hypothèses fantastiques des platoniciens ; en effet (......) il constate que la mathématique se déroule dans le temps. (.......) son immortalité lui permet d'atteindre des nombres aussi grands qu'il veut, mais pas de définir tous les nombres ; il croit à l'infini potentiel, pas à l'infini actuel.^[14]

C'est l'incursion du temps qui en effet pour les constructivistes distingue l'infini potentiel, dont les parties sont construites successivement, de l'infini actuel, dont les parties sont données simultanément ; or pour eux il s'agit bien d'une activité humaine ; "il n'y a pas de mathématiques sans mathématicien" dit Apéry.

[modifier] L'infini actuel et le temps

Au Moyen Âge, saint Bonaventure avait affirmé que d'un pur point de vue logique — indépendamment de ce que disait la Bible — il était impossible que le monde aie toujours existé ; Thomas d'Aquin réfuta cette assertion par un raisonnement formel, rien en l'absence d'information ne permettant d'exclure à priori une éternité actuellement achevée^[15].

Un sophisme célèbre, imaginé par le créationniste états-unien W.L. Craig d'après une parabole de Bertrand Russell dont le but était autre, prétend démontrer l'impossibilité d'une durée infinie achevée, et donc prouver que le monde a eu un commencement, par l'histoire de Tristram Shandy, lequel écrit son autobiographie au rythme d'un an d'écriture par journée vécue, et a fait cela toutes les années du passé. Si donc le temps n'a jamais commencé, quel jour de sa vie Tristram Shandy est-il en train de commenter cette année ? Aucun jour du passé ne conviendrait, donc il est impossible que le temps n'aie pas une origine. ^[16]

La supercherie est évidente pour qui connaît les coordonnées cartésiennes : le scénario comporte une contradiction ; Tristram Shandy qui écrit 365,25 fois moins vite que l'horloge a nécessairement commencé son autobiographie quelque jour, ce qui en aucune manière ne prouve la nécessité logique d'un début du temps.

[modifier] Les très grands nombres

Dans l' expression populaire, l'adjectif "infinies" est parfois employé pour qualifier de très vastes étendues ou de très grandes quantités. Remarquons que même finis, les très grands nombres peuvent être difficiles à concevoir. Ainsi les suites de Goodstein sont des suites définies très simplement qui donnent lieu à des nombres qui dépassent l'entendement, bien qu'ils soient encore considérablement plus petits que ceux engendrés par le castor affairé.

[modifier] Les notations

Le symbole actuel de l'infini a été employé pour la première fois en 1655 par John Wallis, dans son ouvrage: De sectionibus conicis puis peu après dans l'Arithmetica Infinitorum :

esto enim ∞ nota numeri infiniti.^[17]

Deux hypothèses existent quant à l'origine de ce choix. La plus communément admise est qu'il s'agit d'une évolution du chiffre désignant '1000' dans la numération romaine : successivement Ⓧ, puis CIƆ, avant de devenir M. L'évolution graphique du deuxième symbole aurait donné . Parallèlement on note l'emploi du mot latin mille au pluriel pour désigner un nombre arbitrairement grand et inconnu^{[réf. nécessaire]}. On notera l’expression française encore utilisée aujourd’hui « des milles et des cents » rappelant cet usage. Le symbole actuel serait donc simplement l’évolution de la ligature minuscule cıɔ en écriture manuscrite onciale.

Une hypothèse concurrente est que le symbole serait issu de la lettre grecque ω, dernière lettre de l'alphabet grec, et métaphore courante pour désigner l'extrémité finale (comme dans l'expression l'alpha et l'oméga). Depuis Georg Cantor on utilise d'ailleurs des lettres grecques pour désigner les nombres ordinaux infinis. Le plus petit ordinal infini, qui correspond au bon ordre usuel sur les entiers naturels, est noté ω.

Georges Ifrah, dans son encyclopédie "L'histoire universelle des chiffres", explique que la graphie de l'infini remonte à la civilisation indienne, et plus particulièrement à la mythologie indienne. L'Ananta, (terme sanskrit qui signifie infini) le "serpent infini" du dieu Vishnu, est représenté enroulé sur lui-même à la manière d'un "huit renversé".

[modifier] Notes et références

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚp corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : √2 : φ : 0 : i : e : ℵ0 :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif

[modifier] Articles connexes

• Nombre cardinal
• Nombre ordinal
• Nombre transfini
• Hôtel infini
• L'Infini est une revue littéraire crée par Philippe Sollers.

[modifier] Liens externes

• Infini en mathématiques

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