Nombre hyperréel
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[modifier] Historique
Les nombres hyperréels furent introduits par Abraham Robinson dans les années 1960 dans le cadre de l'Analyse non-standard. Il se base sur l'axiomatique Zermelo-Fraenkel. Il ajoute 3 axiomes nouveaux :
- l'Idéalité
- le Standard
- le Transfert
Ces 3 axiomes sont plus connus sous le nom IST. Robinson rejoint les préoccupations d'Euler pour les nombres infinis.
[modifier] Représentation d'un hyperréel
Un nombre hyperréel est une quantité "plus petite qu'un infinitésimal" ou "inverse d'une quantité plus grande que l'infini". Si nous divisons à l'infini un segment de droite, nous obtenons un infinitésimal. Selon que l'on utilise ou non l'axiome de choix, la nature de celui-ci sera soit discrète, soit définira un nouvel intervalle à nouveau divisible. Ces nombres ont donc une nature potentielle et ne peuvent être représentés sur la droite réelle. On les représente souvent par un halo, sorte de phylactère entourant un nombre réel.
[modifier] Construction
La construction des hyperréels se fait à partir d'un ultrafiltre (ensemble de sous-ensembles appelé aussi ensemble large et possédant certaines propriétés). On définit une mesure μ sur l'ensemble 
comme une fonction de l'ensemble 
des parties de dans l'ensemble formé des deux éléments zéro et un 
possédant les propriétés suivantes :
- μ(X) = 0 pour X partie finie de
avec 
où Y et Z sont des parties quelconques de .
On parle alors de l'"ensemble externe" * R des hyperréels dont l'existence est démontrée par l'utilisation de l'axiome du choix, et défini comme une ultra-puissance de R.
[modifier] Définition
Un nombre x est dit hyperréel si et seulement si :
- x est infinitésimal, si |x| est strictement inférieur à tout cardinal positif d'un ensemble d'éléments standard ou plus simplement à tout « standard positif ».
- x est infiniment grand, autrement dit si 1/x est infinitésimal .
[modifier] Bibliographie
- Balade en analyse non-standard sur les traces de Robinson
