Nombre décimal

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Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la forme $a\times 10^p$ (où a et p sont des entiers relatifs). Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre $\pi\,$ qui possède cependant autant d'approximations décimales que l'on veut : $3,14\;;\;3,14\,159\;;\;3,14\,159\,265\;;\;\text{etc.}$

[modifier] Caractérisation

Les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait qu'un nombre rationnel a est décimal :

a admet un développement décimal limité (c'est-à-dire avec un nombre fini de chiffres différents de 0).
Il existe $m\in \mathbb Z$ et $p\in \mathbb N$ tels que : $a = \frac{m}{10^p}$ .
La fraction irréductible de a est de la forme $\frac{b}{5^m \times 2^p}$ , où b est un entier relatif et m et p des entiers naturels.
a possède deux développements décimaux distincts.

[modifier] Remarques

Le première assertion prouve que 1,6666 est un nombre décimal et que 1,6666... (qui s'écrirait avec une infinité de 6) n'en est pas un.
La deuxième assertion nous dit que $\frac{765}{10^8}$ est un nombre décimal, mais elle ne peut pas être utilisée pour prouver qu'un nombre n'est pas décimal.
La troisième assertion nous donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible (par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur), puis de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 et 5.
La quatrième assertion fait souvent figure de « curiosité ». Le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999... (avec une infinité de 9). Pour des détails, voir l'article Développement décimal de l'unité.

[modifier] Structure algébrique

L'ensemble des décimaux est souvent noté $\mathbb D$ . $(\mathbb D,+,\times)$ est un anneau intègre commutatif. Son corps des fractions étant $\mathbb Q$ .

[modifier] Topologie

$\mathbb D$ est dense dans $\mathbb R$ . Autrement dit, tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres décimaux. Ce théorème est fréquemment utilisé lors de la recherche de valeurs approchées.

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif