Trigonométrie complexe
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[modifier] Extension des fonctions circulaires
Dans le corps des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi :
De même que leurs fonctions réciproques :
Ces fonctions souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.
[modifier] Fonctions trigonométriques d'un complexe
Voici la démonstration de la formule permettant de calculer le cosinus d'un complexe :
- t1 = a t2 = − a
- = > cos(a + i.b) = cos(a).cosh(b) − i.sin(a).sinh(b)
Pour les autres fonctions trigonométriques, faire de même. Pour tan et cotan, mieux faut utiliser leur propriété suivante :
Voici la démonstration pour le cosinus hyperbolique :
- t1 = b t2 = − b
- = > cosh(a + i.b) = cosh(a).cos(b) − i.sinh(a).sin(b)
Pour les autres fonctions trigonométriques hyperboliques, faire de même. Pour tanh et cotanh, mieux faut utiliser leur propriété suivante :