Pi

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Pi (homonymie).
π
Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.
Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (toujours en minuscule) est le rapport constant[1] entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est appelé aussi constante d'Archimède. Des valeurs approchées de π courantes sont π ≈ 3,14, π ≈ 3,1416, π ≈ 22/7 ou π ≈ 355/113

Mais π est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers[2]. En fait, ce nombre est transcendant[3]. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine.

La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface d'un disque donné.[4]

Sommaire

[modifier] Histoire

La lettre grecque "π" est la première lettre des mots grecs περιφέρεια (périphérie) et περίμετρος (périmètre, c'est-à-dire circonférence).

Le nombre π a très tôt été une source d'inspiration pour de nombreux mathématiciens, et ce autant en algèbre qu'en analyse. Ainsi, dès l'Antiquité, les savants, notamment les savants grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce nombre lors d'études sur des problèmes géométriques.

La plus ancienne valeur de π dont la véracité est attestée provient d'une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936. Cette tablette date de 2000 avant J.-C. Les Babyloniens y seraient arrivés en comparant le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une des premières valeurs approchées connues de π : \pi \approx 3 + \frac{1}{8} (= 3,125).

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On trouve trace d'un calcul qui implique que π est évalué à \left(\frac{16}{9}\right)^2 (\approx 3,160...).

[modifier] Formules incluant π

Les formules intéressantes incluant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences.

[modifier] Géométrie

Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères

Forme géométrique Formule
Circonférence d'un cercle de rayon r et de diamètre d C = 2 \pi r = \pi d \,\!
Aire d'un disque de rayon r A = \pi r^2 \,\!
Aire d'une ellipse de demi-axes a et b A = \pi a b \,\!
Volume d'une boule de rayon r V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi d^3}{6} \,\!
Aire surfacique d'une sphère de rayon r A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!
Volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon r V = \pi r^2 h \,\!
Aire surfacique d'un cylindre de hauteur h et de rayon r A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Volume d'un cône de hauteur h et de rayon r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Aire surfacique d'un cône de hauteur h et de rayon r A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même (bases du cylindre exclues).
π se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure d'angle 180° (en degrés) est égale à π radians.

En géométrie non euclidienne, la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π.

[modifier] Analyse

  • \pi = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \sin \left( { \pi \over n } \right) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \tan \left( { \pi \over n } \right) \right).
Les deux suites de termes sn=n.sin(π/n), et tn=n.tan(π/n), n ≥ 3, représentent les demi-périmètres des polygones réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique pour sn, exinscrit pour tn. On les exploite par des suites extraites dont l'indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir π par passage à la limite d'expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée. Ainsi on peut s'inspirer de la méthode utilisée par Archimède — voir historique du calcul de π — pour donner une définition par récurrence des suites extraites de termes s2m et t2m, ou encore s3.2m et t3.2m, par exemple à l'aide des identités trigonométriques usuelles :
\begin{array}{lll}
t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} & t_3=3\sqrt 3& t_4=4\\
s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} & s_3={3\sqrt 3\over 2} & s_4={2\sqrt 2}\,.
\end{array}
En utilisant les identités trigonométriques, 2.sin(x/2) = √(2-2cos(x)) et 2.cos(x/2) = √(2+2cos(x)) (x ∈ [0,π]), on peut exprimer s2k+1 et s3.2k (k≥1) par emboîtements successifs de racines carrées. On obtient les formules qui suivent pour π.
\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right ), où k est le nombre de racines carrées emboitées
ou encore :
\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right ).
  • Une autre expression de s2k+1, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par √(2+√…)), conduit au produit infini suivant (formule de François Viète, 1593).
\frac{\pi}2=
\frac{2}{\sqrt2}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots
  • \zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de \pi^{2n}\, pour un entier positif n
  • \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{\cdots}{\cdots + \frac{k^2}{(2k+1) + \cdots}}}}}}}
 = {1 + {1^{2}\over 2
              + {3^{2}\over 2
              + {5^{2}\over 2
              + {7^{2}\over 2
              + {9^{2}\over 2
              + {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}}  (William Brouncker)
\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}
Les démonstrations ainsi que d'autres représentations sont données dans l'article Fraction continue.
  • \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}\, (aire d'un quart de cercle unitaire)

[modifier] Théorie des nombres

La fréquence d'apparition de paires d'entiers naturels premiers entre eux parmi les paires d'entiers comprises entre 0 et N tend vers 6/π² quand N tend vers l'infini.

Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de deux carrés parfaits, en tenant compte de l'ordre, tend vers π/4 quand N tend vers l'infini.

[modifier] Systèmes dynamiques / Théorie ergodique

La probabilité pour que deux entiers naturels soient premiers entre eux est 6/π², au sens où si l'on tire au hasard deux entiers naturels compris entre 1 et N (où N est un entier naturel non nul fixé) selon la loi uniforme, cette probabilité tend vers 6/π² lorsque N tend vers l'infini.

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}
presque partout sur [0, 1] où les xi sont des itérés du plan logistique pour r = 4.

[modifier] Calcul de la valeur de π

Du fait de sa nature irrationnelle (cf article Fraction continue pour la démonstration), le nombre π ne possède pas de développement décimal fini ou périodique. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une écriture décimale approchée. Par exemple, une valeur approchée avec 100 décimales est[5]

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 ...

Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.

[modifier] Historique du calcul de π

Au XXe siècle av. J.-C. les Babyloniens utilisaient l'approximation 25 / 8 et les Égyptiens ( (16 / 9)2 = 3,16049...) qui était une assez bonne approximation. On ne dispose du témoignage d'une meilleure approximation qu'au IIIe siècle av. J.-C. vers 250 av. J.-C. avec le traité d'Archimède sur la mesure du cercle. Grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle entre deux suites polygones, dont le nombre de côtés double à chaque itération, Archimède obtint  : 223 / 71 < π < 22 / 7 (3,1408... < π < 3,1428...), soit, dit de façon très anachronique, une précision de 2.10-3 et 2 décimales exactes. En Perse en 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de π. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, l'Allemand Ludolph van Ceulen calcula 20 décimales, puis 34 en 1609. Il fut si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demanda à ce que le nombre soit gravé sur sa tombe.

Ensuite, grâce au développement de l'analyse au XVIIe siècle, avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi s'accéléra.

James Gregory (1638 - 1675) découvre la formule suivante

\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}=...=\sum_{k=o}^{\infty}\frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{2k+1}

qui permet en faisant x = 1 de trouver une approximation de π/4 : \pi=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...\right)=4\sum_{k=o}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1} Gregory ne l'a jamais écrite explicitement, peut-être est-ce parce qu'il avait compris qu'elle n'était guère utile pour calculer π. En effet, la précision du calcul est de 1/(2n+1), c'est-à-dire qu'il est nécessaire de calculer 500 termes pour n'avoir une erreur que sur la troisième décimale. En fait, la formule pour π avait déjà été proposée vers 1410 par le mathématicien indien Madhava of Sangamagramma (1350-1425) qui calcule ainsi 11 décimales de π [6]. Gregory proposa aussi une méthode itérative de calcul de π qui utilise des polygones réguliers à n cotés, mais qui fait intervenir l'aire au lieu du périmètre. Si l'on note An et Bn les aires des polygones réguliers à n côtés inscrit et circonscrit à un cercle de rayon 1, on trouve les relations :

A_{2n}=\sqrt{A_n B_n}\qquad et \qquad B_{2n}=\frac{2B_n A_{2n}}{(B_n+A_{2n})}

qui conduisent à des calculs beaucoup plus efficaces que ceux de la série de Gregory, mais ne donnent guère mieux que la méthode d'Archimède elle-même. Grégory utilise ces calculs pour tenter de prouver que π est transcendant[7].

Isaac Newton calcula 16 décimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Vers 1760, Euler calcula 20 décimales en une heure (à comparer avec la trentaine de décimales obtenue par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul).

Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon proposa au XVIIIe siècle une expérience de probabilité (Aiguille de Buffon) impliquant π.

Le mathématicien slovène Jurij Vega calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui.

Le mathématicien William Shanks passa 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. Il en calcula 707, mais seules les 528 premières étaient correctes. À l'occasion de l'exposition universelle de Paris de 1937, celles-ci furent malheureusement gravées dans la salle π du Palais de la Découverte. L'erreur ne fut détectée qu'en 1945.

Le calcul des décimales de Pi s'emballa au XXe siècle avec l'apparition de l'informatique : 2 037 sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10 000 décimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la même année. En 2002, 1 241 100 000 000 décimales étaient connues.

[modifier] Méthodes de calcul de π

[modifier] Les formules de Machin

La formule de Machin utilisée par John Machin, similaire à des formules encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide :

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

Il l'obtint avec un développement en série de Taylor de la fonction arctan(x). Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires dans le plan complexe, avec

(5+i)^4 \times (-239 + i) = -114244 \times (1+i).

Les formules de ce genre sont nommées formules de Machin.

Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales.

On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes).

Le record actuel est de 1 241 100 000 000 de décimales, déterminées après 600 heures de calcul en novembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela :

\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443} (K. Takano, 1982)
 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943} (F. C. W. Störmer, 1896)

Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.

D'autres méthodes et algorithmes sont actuellement à l'étude et mis en œuvre comme l'utilisation en parallèle d'ordinateurs connectés sur le réseau Internet.

[modifier] Le calcul isolé des décimales de π

En 1995 David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, a découvert une nouvelle formule de π, une série (souvent appelée formule BBP):

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Cette formule permet de calculer facilement la ne décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le site de Bailey en contient la dérivation et l'implémentation dans de nombreux langages de programmation. Grâce à une formule dérivée de la formule BBP, le 4 000 000 000 000 000e chiffre de π en base 2 a été obtenu en 2001.

Un an plus tard, Simon Plouffe met au point un algorithme permettant le calcul de la ne décimale de π, mais cette fois-ci en décimal[8]. Malheureusement, cet algorithme qui permet actuellement de déterminer en base 10 un chiffre précis et isolé de π est moins rapide que celui qui consiste à calculer tous les chiffres décimaux précédents.

[modifier] Autres formules

D'autres formules ont été utilisées pour calculer π, dont:

 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} (formule due à Ramanujan)
 \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} (formule due à David et Gregory Chudnovsky)

[modifier] Retenir π

Un moyen mnémotechnique populaire (mais peu pratique) est le poème :

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste, ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l'orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle

Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, sauf pour le chiffre "0" dont le codage correspond à un mot de 10 lettres.

En 2005, un japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur 83 431 décimales de π en 13 heures. Il réitéra son record un an plus tard (2006) en mémorisant et récitant publiquement 100 000 décimales pendant 16 heures. Cet exploit a été homologué par le Livre Guinness des records.

[modifier] Questions ouvertes

Une question ouverte importante est de savoir si π est un nombre normal, c'est-à-dire si n'importe quelle succession de n chiffres apparaît dans la valeur décimale de π avec la même probabilité qu'une autre succession de n chiffres, comme on s'y attendrait pour une suite infinie et complètement aléatoire de chiffres. Cela devrait en vérité être vérifié dans n'importe quelle base et non seulement en base 10. Bailey et Crandall ont montré en 2000 que l'existence de la formule Bailey-Borwein-Plouffe ci-dessus et de formules similaires entraîne la normalité en base 2 de π.

Dans le même esprit, on ne sait pas si π est un nombre univers, c'est-à-dire un nombre dont on peut retrouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie peu importe la probabilité d'apparition de celle-ci[9].

On ne sait même pas quels sont les chiffres du développement décimal dont le nombre d'apparitions est infini[réf. nécessaire].

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels Extensions

ℕ ensemble des entiers naturels
ℤ groupe des entiers relatifs
D ensemble des décimaux
ℚ corps des rationnels
ℝ corps des réels
ℂ corps des complexes

ℍ algèbre des quaternions
O algèbre des octonions
S algèbre des sédénions
autres hypercomplexes
p corps des p-adiques
hyperréels et superréels
ordinaux et cardinaux
surréels et pseudoréels

\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}

Propriétés particulières

pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait
positif ou négatif • dyadique • irrationnel
algébrique ou transcendant • imaginaire pur
nombre de Liouville • normal • univers
constructible • calculable • transfini • infiniment petit

Exemples d'importance historique
π :
2 :
φ :
0 :
i :
e :
0 :
constante d'Archimède
racine carrée de deux
nombre d'or
zéro
unité imaginaire
constante de Neper
aleph-zéro
(≈ 3,141592654…)
(≈ 1,414213562…)
(≈ 1,618033989…)

de carré valant −1
(≈ 2,718281828…)
premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes

chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre
arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif

commons:Accueil

Wikimedia Commons propose des documents multimédia libres sur Pi.

[modifier] Articles connexes

[modifier] Livres

[modifier] Liens externes

[modifier] Notes et références

  1. dans un plan euclidien
  2. L'irrationalité de π a été démontrée en 1761 par Johann Heinrich Lambert.
  3. Ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882 : Lindemann, F. « Über die Zahl π », Mathematische Annalen 20 (1882), pp. 213-225.
  4. En effet, les coordonnées de tous les points constructibles à la règle et au compas sont des cas particuliers de nombres algébriques
  5. 26 décimales suffisent pour estimer la taille de l'univers avec une précision égale à la taille d'un atome.
  6. (en) Biographie de Madhava sur le site de l'université de Saint-Andrew
  7. (en)Squaring the circle sur le site de l'université de Saint Andrews
  8. Voir page de Simon Plouffe
  9. DicoMaths : Nombre univers