Nombre réel calculable

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En informatique et algorithmique, un nombre réel calculable est un réel pour lequel il existe un algorithme ou une machine de Turing permettant d'énumérer tous les chiffres de son développement décimal. Cette notion a été mise en place et développée par Turing.

L'ensemble des réels calculables est un corps dénombrable^{[réf. nécessaire]} contenant tous les nombres algébriques, mais aussi d'autres constantes comme π ou γ. Cependant, il existe des réels définis non calculables, un des plus célèbres est la constante Oméga de Chaitin, mais il y a aussi les nombres définis par le castor affairé.

[modifier] Construction de nombres calculables

Tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres rationnels ; ainsi s'il est possible d'expliciter un terme général pour une telle suite, le nombre qui en est la limite est calculable.

On sait par exemple que:

$\pi =4 \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}$

Il est donc possible de déterminer des rationnels approchant π avec une précision arbitraire (la théorie sur les séries alternées permet même de savoir pour quel entier m il faut calculer $\pi =4 \sum_{k = 0}^{m}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}$ pour avoir un nombre donné de décimales exactes).

Mieux, tout nombre donné par une suite explicite à partir de nombres dont on a déjà montré qu'ils sont calculables l'est également. Par exemple non seulement $e$ est calculable car $e = \sum_{n = 0}^{+\infty} {1 \over n!}$ mais $e π$ l'est également car $e^\pi = \sum_{n = 0}^{+\infty} {\pi^n \over n!}$

Donc pour toute fonction calculable, l'image d'un nombre calculable est un nombre calculable. (par exemple le cosinus d'un rationnel donné est calculable).

Mais en revanche, si on sait que $e^\Omega = \sum_{n = 0}^{+\infty} {\Omega^n \over n!}$ , $e Ω$ n'en est pas calculable pour autant puisque Ω ne l'est pas (d'ailleurs $e Ω$ n'est pas calculable sinon $Ω = l o g (e Ω)$ le serait).

On pourrait être tenté de dire que, s'il y a un ensemble des nombres calculables, et s'il est dénombrable, l'application du procédé diagonal de Cantor à cet ensemble fournirait bien un algorithme pour calculer un nouveau nombre, ce qui conduirait à une contradiction.

La réponse de Turing est que l'on ignore comment attribuer un numéro à chaque nombre calculable, or ceci doit être fait préalablement à la diagonalisation - voir le chapitre 8 de l'ouvrage de 1936 cité ci-dessous.

[modifier] Nombre complexe calculable

Par extension, on appelle nombre complexe calculable un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont simultanément calculables.

[modifier] Bibliographie

Alan Turing et Jean-Yves Girard, La machine de Turing, Editions du Seuil Paris, 1995
On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proceedings of the London Mathematical Society, series 2, 1936, vol 42, pp.230-265 (version en ligne)
Klaus Weihrauch, Computable analysis: an introduction, Springer, Texts in theoretical computer science, ISBN 3-540-66817-9 (version en ligne)

[modifier] Liens internes

Analyse constructive

[modifier] Liens externes

http://www.thocp.net/biographies/papers/turing_oncomputablenumbers_1936.pdf

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif