Ultrafiltre
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
 |
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
|
Sommaire |
[modifier] Définition
Un ultrafiltre sur un ensemble E est un filtre tel qu'il n'existe aucun filtre sur E strictement plus fin que lui. Cela signifie qu'un ultrafiltre est un élément maximal de l'ensemble des filtres ordonnés par l'inclusion.
On peut aussi montrer qu'un filtre sur E est un ultrafiltre si et seulement si pour tout sous-ensemble A de E, A ou son complémentaire appartient à l'ultrafiltre. Le passage d'une définition à l'autre, bien que facile à démontrer, est fondamental.
[modifier] Exemple d'ultrafiltre
L'ensemble des parties d'un ensemble E qui contiennent un élément choisi dans cet ensemble est un ultrafiltre (un tel ultrafiltre est dit principal, ou centré, ou trivial).
Soit E = {a,b,c}. F = {{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}} est un ultrafiltre principal.
[modifier] Applications
L'utilisation d'ultrafiltres permet de démontrer relativement aisément [1] le Théorème de Tychonov.
L'existence d'ultrafiltres non principaux sur ℕ permet de définir un modéle de l'Analyse non standard [2] par la construction des nombres hyperréels.
L'existence d'ultrafiltres non principaux est une conséquence de l'axiome du choix (et plus précisément du lemme de Zorn).
[modifier] Notes
[modifier] Bibliographie
- Henri Cartan, Théorie des filtres. CR Acad. Paris, 205, (1937) 595–598.
- Henri Cartan, Filtres et ultrafiltres CR Acad. Paris, 205, (1937) 777–779.
- Nicolas Bourbaki, Topologie générale, Eléments de mathématiques , Paris, Hermann, 1971.
