Symbole de Schläfli

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En mathématiques, le symbole de Schläfli est une notation simple qui donne un résumé de certaines propriétés importantes d'un polytope rectangulaire particulier.

Le symbole de Schläfli fut nommé ainsi en l'honneur du mathématicien du 19ème sièle Ludwig Schläfli qui fit d'importantes contributions en géométrie et dans d'autres domaines.

Article détaillé : liste des polytopes réguliers.

Sommaire

1 Les polygones réguliers (plan)
2 Les polyèdres réguliers (3-espace)
3 Les polychores réguliers (4-espace)
4 Les dimensions plus élevées
5 Les polytopes duaux
6 Les formes prismatiques
7 Les symboles de Schläfli étendus pour les polytopes uniformes
- 7.1 Les polyèdres uniformes et les pavages
- 7.2 Les polychores uniformes et les nids d'abeille
8 Références
9 Liens externes

[modifier] Les polygones réguliers (plan)

Le symbole de Schläfli pour un polygone à n cotés est {n}.

Par exemple, un pentagone régulier est représenté par {5}.

Voir les polygones réguliers et les polygones étoilés.

Par exemple, {5/2} est le pentagramme.

[modifier] Les polyèdres réguliers (3-espace)

Le symbole de Schläfli d'un polyèdre est {p,q} si ses faces sont des p-gones, et chaque sommet est entouré par q faces (la figure de sommet est un q-gone).

Par exemple {5,3} est le dodécaèdre régulier. Il possède des faces pentagonales, et trois pentagones autour de chaque sommet.

Voir les 5 solides de Platon, les 4 solides de Kepler-Poinsot.

Les symboles de Schläfli peuvent aussi être définis pour les pavages réguliers des espaces euclidiens ou hyperboliques d'une manière similaire.

Par exemple, le pavage hexagonal est représenté par {6,3}.

[modifier] Les polychores réguliers (4-espace)

Le symbole de Schläfli pour un polychore régulier est de la forme {p,q,r}. Il possède {p} faces polygonales régulières, {p,q} cellules, {q,r} figures de sommet polyèdriques régulières et {r} figures d'arêtes polygonales régulières.

Voir les six polychores réguliers convexes et les dix non-convexes.

Par exemple, le 120-cellule est représenté par {5,3,3}. Il est construit par des cellules dodécaèdriques {5,3}, et possède 3 cellules autour de chaque arêtes.

Il existe aussi un pavage régulier du 3-espace euclidien : le nid d'abeille cubique, avec un symbole de Schläfli de {4,3,4}, fait de cellules cubiques, et 4 cubes autour de chaque sommet.

Il existe aussi 4 pavages réguliers hyperboliques incluant {5,3,4}, le petit nid d'abeille dodécaèdrique hyperbolique, qui remplit l'espace avec des cellules dodécaèdriques.

[modifier] Les dimensions plus élevées

Pour les polytopes de dimensions plus élevées, le symbole de Schläfli est défini par récurrence comme : ${p_1, p_2, ..., p_{n-1}}\,$ si les facettes ont un symbole de Schläfli ${p_1, p_2, ..., p_{n-2}}\,$ et les figures de sommet : ${p_2, p_3, ..., p_{n-1}}\,$ .

Il existe seulement 3 polytopes réguliers en 5 dimensions et au-dessus : le simplex, {3,3,3,...,3}; le polytope croisé, {3,3, ... ,3,4}; et l'hypercube, {4,3,3,...,3}. Il n'existe pas de polytopes réguliers non-convexes au-dessus de 4 dimensions.

[modifier] Les polytopes duaux

Pour la dimension 2 ou au-dessus, chaque polytope possède un dual.

Si un polytope possède un symbole de Schläfli ${p_1, p_2, ..., p_{n-1}}\,$ alors son dual possède un symbole de Schläfli ${p_{n-1}, ..., p_2, p_1}\,$ .

Si la suite est la même vers la gauche et vers la droite, le polytope est auto-dual. Chaque polytope régulier en 2 dimensions (polygone) est auto-dual.

[modifier] Les formes prismatiques

Les polytopes prismatiques peuvent être définis et nommés comme un produit cartésien de polytopes de dimensions inférieures :

Un prisme p-gonal, avec une figure de sommet p.4.4 comme $\begin{Bmatrix}\ \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix} p \end{Bmatrix}$ .
Un hyperprisme uniforme {p,q}-èdrique comme $\begin{Bmatrix}\ \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix} p,q \end{Bmatrix}$ .
Un duoprisme uniforme p-q comme $\begin{Bmatrix} p \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix} q \end{Bmatrix}$ .

Un prisme peut aussi être représenté comme la troncature d'un hosoèdre comme $t\begin{Bmatrix} 2,p \end{Bmatrix}$ .

[modifier] Les symboles de Schläfli étendus pour les polytopes uniformes

Les polytopes uniformes, construits à partir d'une construction de Wythoff, sont représentés par une notation de troncature étendue à partir d'une forme régulière {p,q,...}. Il existe un quantité de formes parallèles symboliques qui référencent les éléments du symbole de Schläfli, discutées par dimensions ci-dessous.

[modifier] Les polyèdres uniformes et les pavages

Pour les polyèdres, un symbole de Schläfli étendu est utilisé dans l'article de 1954 par Coxeter énumérant l'article intitulé polyèdres uniformes.

Chaque polyèdre régulier ou pavage {p,q} possède 7 formes, incluant la forme régulière et son dual, correspondant aux positions dans le triangle rectangle fondamental. Un huitième forme spéciale, les adoucis, correspondent à une alternance de la forme omnitronquée.

Par exemple, t{3,3} signifie simplement un tétraèdre tronqué.

Une deuxième notation, plus générale, aussi utilisée par Coxeter, s'applique à toutes les dimensions, et est précisée par un t suivit d'une liste d'indices correspondant aux miroirs de construction de Wythoff (ils correspondent aussi aux noeuds annelés dans un diagramme de Coxeter-Dynkin).

Par exemple, le cube tronqué peut être représenté par t_0,1{4,3} et il peut être regardé comme à mi-chemin entre le cube, t₀{4,3} et le cuboctaèdre, t₁{4,3}.

Dans chacun, un nom désignant l'opération de la construction de Wythoff est donné en premier lieu. En deuxième lieu, certains ont une terminologie alternative (donnée entre parenthèses) s'appliquant seulement pour une dimension donnée. Précisément, l'omnitroncature et le développement, les relations duales s'appliquant différemment dans chaque dimension.

Opération	Symboles de Schläfli étendus		Diagramme de Coxeter- Dynkin	Symbole de Wythoff
Parent	$\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$	t₀{p,q}	Image:Dynkins-100.png	q \| 2 p
Rectifié (Quasi-régulier)	$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	t₁{p,q}	Image:Dynkins-010.png	2 \| p q
Birectifié (ou dual)	$\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}$	t₂{p,q}	Image:Dynkins-001.png	p \| 2 q
Tronqué	$t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$	t_0,1{p,q}	Image:Dynkins-110.png	2 q \| p
Bitronqué (ou dual tronqué)	$t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}$	t_2,3{p,q}	Image:Dynkins-011.png	2 p \| q
Biseauté (ou développé)	$r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	t_0,2{p,q}	Image:Dynkins-101.png	p q \| 2
Biseauté-tronqué (ou omnitronqué)	$t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	t_0,1,2{p,q}	Image:Dynkins-111.png	2 p q \|
Adouci	$s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	s{p,q}	Image:Dynkins-sss.png	\| 2 p q

[modifier] Les polychores uniformes et les nids d'abeille

Il existe au plus 15 formes tronquées pour les polychores et les nids d'abeille basés sur chaque forme régulière {p,q,r}.

Voir les articles polychore et nid d'abeille uniforme convexe.

La notation avec le t en indice est parallèle au diagramme de Coxeter-Dynkin graphique, dont chaque noeud graphique représente les 4 hyperplans des réflexions miroirs dans le domaine fondamental.

Opération	Symboles de Schläfli étendus	Diagramme de Coxeter- Dynkin
Parent	t_{0_{p,q,r}}	Image:Dynkins-1000.png
Rectifié	t_{1_{p,q,r}}	Image:Dynkins-0100.png
Birectifié (ou dual rectifié)	t_{2_{p,q,r}}	Image:Dynkins-0010.png
Trirectifié (ou dual)	t_{3_{p,q,r}}	Image:Dynkins-0001.png

Tronqué	t_{0,1_{p,q,r}}	Image:Dynkins-1100.png
Bitronqué	t_{1,2_{p,q,r}}	Image:Dynkins-0110.png
Tritronqué (ou dual tronqué)	t_{2,3_{p,q,r}}	Image:Dynkins-0011.png
biseauté	t_{0,2_{p,q,r}}	Image:Dynkins-1010.png
Bi-biseauté (ou dual biseauté)	t_{1,3_{p,q,r}}	Image:Dynkins-0101.png
Développé)	t_{0,3_{p,q,r}}	Image:Dynkins-1001.png
Biseauté-tronqué	t_{0,1,2_{p,q,r}}	Image:Dynkins-1110.png
Bi-biseauté-tronqué (ou dual biseauté-tronqué)	t_{1,2,3_{p,q,r}}	Image:Dynkins-0111.png
Développé	t_{0,1,3_{p,q,r}}	Image:Dynkins-1101.png
Développé-biseauté (ou dual développé-tronqué)	t_{0,2,3_{p,q,r}}	Image:Dynkins-1011.png
Développé-biseauté-tronqué (ou omnitronqué)	t_{0,1,2,3_{p,q,r}}	Image:Dynkins-1111.png

[modifier] Références

The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications ISBN 99-35678 (Chapter 3: Wythoff's construction for uniform polytopes, p41-53)
Johnson, N.W. Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
Johnson, N.W. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948). (pp. 14, 69, 149)
Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50. (Extended Schläfli notation defined: Table 1: p 403)

[modifier] Liens externes

Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
Les solides d'Archimède
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
Les solides de Kepler-Poinsot
Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre
Les solides de Catalan
Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
Les solides de Johnson
Les solides de révolution
Sphère - Cylindre de révolution - Cône de révolution - Tore - Paraboloïde de révolution