Dodécaèdre

Dodécaèdre

Type	Polyèdre régulier
Faces	Pentagone
Éléments : · Faces · Arêtes · Sommets · Caractéristique	12 30 20 2
Faces par sommet	3
Sommets par face	5
Isométries	I_h
Dual	Icosaèdre
Propriétés	Deltaèdre régulier et convexe

Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.

[modifier] Dodécaèdre régulier

Un dodécaèdre régulier est un solide de Platon composé de faces pentagonales, dont 3 se rejoignent à chaque sommet.

Les coordonnées canoniques pour un dodécaèdre centré sur l'origine :

$(0, \pm \frac{1}{\varphi}, \pm \varphi)$ ,

$(\pm \frac{1}{\varphi}, \pm \varphi, 0)$ ,

$(\pm \varphi, 0, \pm \frac{1}{\varphi})$ ,

$(\pm1, \pm1, \pm1)$ ,

où $\varphi = {{1+ \sqrt5} \over 2}$ est le nombre d'or.

Les coordonnées du centre des arétes :

$(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\varphi}{2}, \pm \frac{\varphi + 1}{2})$ ,

$(\pm \frac{\varphi + 1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\varphi}{2})$ ,

$(\pm \frac{\varphi}{2}, \pm \frac{\varphi + 1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ ,

$(0, \pm \varphi, 0)$ ,

$(\pm \varphi,0, 0)$ ,

$(0, 0, \pm \varphi)$ ,

Si a est la longueur d'une arête :

La surface est égale à :

$A=3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2$

et le volume à :

$V=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}(15+7\sqrt5)a^3$

L'angle dièdre entre deux faces vaut :

$\arccos\frac{-1}{\sqrt{5}}$

soit environ 116°33'54.

Patron du dodécaèdre régulier

Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
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Sphère - Cylindre de révolution - Cône de révolution - Tore - Paraboloïde de révolution