Fonction entière

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La fonction associant à chaque nombre réel sa partie entière est traitée à l'article Partie entière. Voir aussi la page Entier (homonymie).

En analyse complexe, une fonction entière est une fonction holomorphe définie sur tout le plan complexe. C'est le cas notamment de la fonction exponentielle complexe, des fonctions polynômes et de leurs combinaisons par composition, somme et produit, telles que sinus, cosinus et les fonctions hyperboliques.

Le quotient de deux fonctions entières est une fonction méromorphe.

Considérée comme un cas particulier de la théorie des fonctions analytiques, la théorie élémentaire des fonctions entières ne fait que tirer les conséquences de la théorie générale. C'est celle que l'on voit essentiellement dans un premier cours sur la théorie des fonctions complexes (souvent enrichi du théorème de factorisation de Weiestrass). Mais l'étude, commencée depuis le milieu du XIX^e siècle, par Cauchy, Laguerre, Weierstrass,... s'est considérablement enrichie sous l'impulsion de Borel, Hadamard, Montel, Valiron, Blumenthal,... (sans oublier Nevanlinna) et constitue maintenant une imposante théorie.

Dans la suite, on ne trouvera qu'un pâle résumé de cette théorie.

La théorie des fonctions entières se fixe comme buts de classifier les fonctions entières selon leurs croissance, de préciser le lien entre les coefficients de Taylor de la fonction et la croissance, le lien entre les zéros éventuels et le comportement de la fonction, et les relations entre la fonction et ses dérivées sur ces questions.

La théorie des fonctions entières a été étendue aux fonctions méromorphes.

Sommaire

1 Théorie élémentaire
2 Le module maximum des fonctions entières
3 Croissance des fonctions entières
4 Relation entre les coefficients et la croissance
5 L'ordre de la dérivée d'une fonction entière
6 Ordre inférieur et ordre précisé L
7 Les fonctions entières à croissance régulière
8 La formule de Jensen et l'exposant de convergence des zéros
- 8.1 Le genre
9 Factorisation des fonctions entières d'ordre fini
10 Le terme maximum de la série de Taylor
11 Le lien entre la croissance et la distribution des zéros
12 Les fonctions entières et les angles
13 Les valeurs asymptotiques
14 La fonction indicatrice
15 Le théorème de Carlson
16 Le théorème de Polya
17 La théorie des fonctions entières d'ordre infini de Blumenthal
18 Bibliographie
19 Notes et références

[modifier] Théorie élémentaire

Soit f une fonction analytique complexe holomorphe en z. Elle est développable en série entière autour du point z selon la formule de Taylor-MacLaurin

$f(s)=\sum_{n=0}^\infty{a_n (s-z)^n}.$

La théorie des séries entières montre que la série précédente converge absolument et uniformément dans le disque ouvert de centre z et de rayon R donné par la formule de Cauchy-Hadamard

$\frac1R=\limsup_{n \rightarrow \infty}|a_n|^{1/n}.$

Le principal résultat de la théorie des fonctions analytique complexe est que le rayon de convergence est déterminé par la distance $R$ entre le point $z$ et la singularité la plus proche.

On dit d'une fonction analytique complexe qu'elle est entière lorsqu'elle est holomorphe en tout point du plan complexe. Elle n'a donc pas de singularité à distance finie.

Rappelons qu'une fonction holomorphe en un point y est indéfiniment dérivable.

Soit f une fonction entière. Comme toute fonction analytique holomorphe en un point, elle est développable en série entière convergente de la forme

$f(z)= \sum_{n \ge 0}a_n z^n$

et, comme elle n'a d'autre singularité que le point à l'infini, le rayon de convergence est infini. Autrement dit, la série converge quelle que soit la valeur de z.

On a donc

$\limsup_{n \rightarrow \infty}|a_n|^{1/n}=0.$

Et il en est de même de chacune de ses dérivées qui sont entières également.

La formule de Cauchy

$f(z)=\frac1{2\pi i}\int_\gamma{\frac{f(s)}{s-z}ds}$

permet, en développant la fraction 1/(s-z) en série entière, d'identifier les coefficients de Taylor à des intégrales:

$a_n=\frac{f^{(n)}(z)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma{\frac{f(s)}{(s-z)^{n+1}}ds}.$

Dans les deux cas $γ$ est un chemin fermé sans boucle contenant z.

[modifier] Les inégalités de Cauchy

Dans la formule intégrale donnant les coefficients, en appelant $M (R)$ le maximum du module de la fonction sur le disque de centre z et de rayon R, une majoration simple donne les inestimables inégalités de Cauchy

$|a_n| \le \frac{M(R)}{R^n}.$

[modifier] Le théorème de Liouville

Un résultat important sur les fonctions entières est le théorème de Liouville:

« Si une fonction entière est bornée, alors elle est constante. »

Une démonstration possible est l'application des inégalités de Cauchy en remarquant que $M (R)$ est alors borné quel que soit $R$ . Il suffit donc de faire tendre $R$ vers l'infini pour avoir le résultat.

Cela peut être utilisé pour fournir une démonstration élégante, par l'absurde, du théorème de d'Alembert-Gauss:

« Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes comptées avec leur multiplicité. »

Le petit théorème de Picard renforce considérablement le théorème de Liouville:

« Toute fonction entière non constante prend, sur le plan complexe, toutes les valeurs sauf une au plus. »

Dans un certain sens, qui sera précisé plus tard, la théorie des fonctions entières tourne toute entière autour du petit théorème de Picard.

[modifier] Propriétés algébriques

Une fonction holomorphe définie sur un ouvert connexe s'étend en une fonction entière si et seulement si le rayon de convergence de sa série de Taylor est infini en un point quelconque de son domaine.

L'ensemble des fonctions entières est stable par composition et forme une sous-algèbre complexe de l'espace des fonctions continues du plan complexe dans lui-même.

[modifier] Le module maximum des fonctions entières

On dit d'une fonction analytique complexe qu'elle est entière lorsqu'elle est définie sur le plan complexe tout entier et holomorphe en chaque point. Elle ne présente donc que le point à l'infini pour seule singularité.

On pose

M f (r) = max | z | = r | f (z) | .

Cette fonction croît monotonement, par suite du principe du maximum. Et, en corollaire du théorème de Liouville, elle n'est pas bornée pour les fonctions entières non constantes.

Elle est appelée module maximum de la fonction $f$ .

« La fonction $ln M f (r)$ est une fonction convexe de $ln r$ .(Hadamard)^[1] »

« La fonction $ln M f (r)$ est continue et analytique par intervalles. (Blumenthal) »

En conséquence de la convexité, $ln M f (r)$ admet une dérivée à droite et à gauche. Elles sont croissantes. Il existe une fonction $v (t)$ croissante (mais pas nécessairement continue) telle que

$\ln M(r) = \ln M(1)+\int_1^r {v(u)\frac{du}{u}}.$

[modifier] Croissance des fonctions entières

Par suite du théorème fondamental de l'algèbre, un polynôme de degré n admet n racines dans $\mathbb{C}$ . Donc, plus un polynôme admet de zéros, plus il croît rapidement.

Ceci est aussi le cas des fonctions entières mais d'une manière plus complexe. La relation entre la croissance des fonctions entières et la répartition de ses zéros constitue l'un des thèmes principaux de la théorie de ces fonctions.

Si pour une valeur quelconque $λ$ , on a

$\liminf_{r \rightarrow \infty}\frac{M_f(r)}{r^\lambda}=0$

la fonction f est un polynôme de degré au plus égal à $λ$ .

Lorsque l'égalité précédente n'a lieu pour aucune valeur de $λ$ , on compare la croissance de $M f (r)$ à $exp(r k)$ . Si l'on a, à partir d'une valeur $r 0$ de $r$ , l'inégalité

M f (r) < exp(r k),

on dit que la fonction est d'ordre fini. L'ordre (supérieur) de croissance de $f$ est donné par la formule

$\rho=\rho_f=\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln \ln M_f(r)}{\ln r}.$

On distingue, parmi les fonctions entières de même ordre $ρ$ , les fonctions de type $σ f$ défini par la formule

$\sigma_f=\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln M_f(r)}{r^\rho}.$

Selon la valeur de $σ f$ , on distingue le type minimal ( $σ f = 0$ ), normal ( $0< \sigma_f< \infty$ ) ou maximal ( $\sigma_f=\infty$ ).

On montre les résultats suivants:

$\rho_{f+g} \le \max(\rho_f,\rho_g)$
$\rho_{fg} \le \max(\rho_f,\rho_g)$
$\sigma_{f+g}\le \max(\sigma_f,\sigma_g)$
$\sigma_{fg} \le \sigma_f+\sigma_g$

[modifier] Relation entre les coefficients et la croissance

Si la fonction entière est telle que

$f(z)=\sum_{n\ge 0}a_n z^n$

et que

$M_f(r) < e^{Ar^k}$

pour $r$ suffisamment grand,

alors on a

$|a_n| \le \Big(\frac{eAk}{n}\Big)^{n/k}$

pour $n$ suffisamment grand.

Réciproquement, si l'on a

$|a_n| \le \Big(\frac{eAk}{n}\Big)^{n/k}$

pour $n$ suffisamment grand, alors, pour tout $ε > 0$ ,

$M_f(r) < e^{(A+\epsilon)r^k}$

pour $r$ suffisamment grand.

De ce résultat on déduit

« L'ordre de la fonction entière est déterminé par la formule
$\rho_f=\limsup_{n \rightarrow \infty}\frac{n\ln n}{\ln 1/|a_n|}.$
Le type de la fonction entière est déterminé par la formule
$\sigma_f=\frac1{\rho e}\limsup_{n \rightarrow \infty}n|a_n|^{n/\rho}.$ »

[modifier] L'ordre de la dérivée d'une fonction entière

« L'ordre de la dérivée d'une fonction entière est égal à l'ordre de cette fonction. »

Et, comme une fonction entière est indéfiniment dérivable, il en est de même de toutes ses dérivées.

[modifier] Ordre inférieur et ordre précisé L

Pour comparer plus finement la croissance des fonctions entières, on est amené à regarder l'ordre inférieur de croissance, défini par la quantité

$\liminf_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln M_f(r)}{\ln r}.$

On montre que

« L'ordre inférieur de la dérivée d'une fonction entière est égal à l'ordre inférieur de cette fonction. »

Mais cela ne suffit pas. On montre l'existence, pour une fonction entière $f$ d'ordre fini $ρ$ , d'une fonction $ρ(r)$ ayant les propriétés suivantes:

$ρ(r)$ est définie et continue, dérivable à droite et à gauche en chaque point.
$\lim_{r \rightarrow \infty}\rho(r)=\rho$
$\lim_{r \rightarrow \infty}\rho'(r)r\ln r=0$
$\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln M_f(r)}{r^{\rho(r)}}=1.$

On a ainsi défini un ordre précisé L de $f$ .

[modifier] Les fonctions entières à croissance régulière

Dans ses études sur les fonctions entières, Émile Borel a défini les fonctions entières à croissance régulière en supposant que l'ordre de la fonction entière est

$\rho=\lim_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln \ln M(r)}{\ln r}.$

« Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction entière d'ordre $ρ$ soit une fonction à croissance régulière est
$| a n | 1 / n < n - 1 / ρ + ε$ pour tout entier $n$ assez grand et tout $ε > 0$ et qu'il existe une suite d'entiers $n p$ telle que $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n_{p+1}}{n_p}=1$ et pour laquelle on a $|a_{n_p}|^{1/n_p}> n_p^{-1/{\rho+\epsilon_p}}$ avec $\lim_{n \rightarrow \infty}\epsilon_p=0.$ »

[modifier] La formule de Jensen et l'exposant de convergence des zéros

Cette formule est fondamentale dans la suite de la théorie, même si elle n'intervient pas explicitement. On la démontre par exemple par l'emploi de la formule de Green.

On a, pour une fonction ayant des zéros aux points $a k$ , ne présentant aucun pôle dans le disque $r < ρ$ et en posant $x=r e ^{i\varphi}$

$\ln |f(re^{i\varphi})| = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln|f(\rho e^{iu}|\frac{(\rho^2-r^2)}{\rho^2+r^2-2r \rho \cos(u-\varphi)}du -\sum_k \ln \Big|\frac{\rho^2-\bar{a_k} x}{\rho(x-a_k)}\Big|$

Cette formule est la formule de Poisson-Jensen.

On en déduit la formule de Jensen:

« Soit f une fonction analytique dans le disque $|z| \le r$ contenant les zéros $a_1, a_2, \ldots, a_n$ . Alors
$\log |f(0)| = -\sum_{k=1}^n \log\left(\frac{r}{|a_k|}\right)+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(re^{i\theta})|d\theta.$ »

Cette formule permet de lier le nombre des zéros à la croissance de la fonction. Soit $f (s) =$ une fonction entière ayant tous ses zéros $a k$ dans le disque de rayon $r$ . On appelle $n (x)$ le nombre de zéros de modules inférieurs ou égaux à $x$ .

on a ainsi

$\sum_k\ln \frac{r}{|a_k|}= \int_0^r n(u)\frac{du}{u}=W(r)$

et ainsi, pour une fonction non nulle en 0, on trouve la forme suivante de la formule de Jensen:

W (r) + ln | f (0) | < ln M (r).

Pour une fonction entière d'ordre $ρ$ fini, on voit que $n (r) < r ρ + ε$ .

On en déduit que la série

$\sum_k \frac1{|a_k|^{\tau}}$

est convergente pour $τ > ρ.$

On appelle ainsi ordre réel (Borel) ou exposant de convergence de la suite des zéros la valeur de $τ$ la plus petite pour laquelle la série converge. On en déduit donc ce théorème de Borel:

« L'exposant de convergence de la suite des zéros est au plus égal à l'ordre. »

[modifier] Le genre

Le plus petit entier qui majore l'exposant de convergence est appelé, d'après Laguerre, le genre de la fonction.

Il se détermine par la formule de Laguerre:

« Une fonction entière $f$ est de genre $n$ si et seulement si $s^n\frac{f'(s)}{f(s)}$ tend vers 0 uniformément quand $| s |$ tend vers l'infini. »

[modifier] Factorisation des fonctions entières d'ordre fini

[modifier] Le théorème de factorisation de Weierstrass

Du développement de

$\ln(1-u)=-u-\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{3}-\ldots-\frac{u^n}{n}-\ldots$

on déduit que la fonction

$E(u,m)=(1-u)e^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m},$

où l'on reconnaît le précédent développement limité aux m premiers termes, est sensiblement égale à 1 sauf dans un voisinage de u=1 où elle admet un zéro d'ordre 1.

Ces facteurs $E (u, m)$ sont appelés facteurs primaires de Weiestrass. Avec eux, Weierstrass a montré le théorème de factorisation des fonctions entières:

« Soit f une fonction entière d'ordre fini $ρ$ et s'annulant sur les points d'affixes $a_n \neq 0$ . Alors, il existe un polynôme $P (s)$ de degré inférieur ou égal à $ρ$ , et un entier $m \le \rho$ tels que l'on ait
$f(s)=z^p\exp(P(s))\prod_{n=1}^\infty E\left(\frac{s}{a_n},m\right)$ . »

Par la suite, Borel a précisé m et le degré du polynôme. Le facteur $z p$ n'est là que pour les fonctions entières ayant un zéro d'ordre p en 0.

« Le degré de $P$ est égal à la partie entière de l'ordre $ρ$ si $ρ$ n'est pas entier. Il peut prendre la valeur $ρ$ ou la valeur $ρ - 1$ si l'ordre $ρ$ est entier. L'entier $m$ est majoré par $ρ$ . L'un des deux entiers au moins est égal à $ρ$ si l'ordre est entier. »

Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux fonctions méromorphes.

[modifier] Le théorème de Hadamard

Le théorème de factorisation de Hadamard relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini $ρ,$ s'énonce ainsi

« Pour toute fonction méromorphe $f (s)$ d'ordre fini $ρ$ il existe deux entiers $m 1$ et $m 2$ plus petits que $ρ$ , et un polynôme $q (s)$ de degré inférieur à $ρ$ tels que $f(s)=e^{q(s)}\frac{p_1(s)}{p_2(s)},$ où $p 1 (s)$ et $p 2 (s)$ sont des produits de fonctions canoniques d'ordres $m 1$ et $m 2$ batis sur les zéros $a i$ et les pôles $b i$ de $f$ . $p_1(s)=\prod_{n=1}^\infty{E\Big(\frac{s}{a_n},m_1\Big)},$ $p_2(s)=\prod_{n=1}^\infty{E\Big(\frac{s}{b_n},m_2\Big)},$ avec $E(u,m)=(1-u)e^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m}.$ »

Il est une simple conséquence du théorème de factorisation de Weierstrass et du théorème suivant:

« toute fonction holomorphe est le quotient de deux fonctions entières. »

[modifier] Estimations sur le produit canonique

Le théorème de Boutroux-Cartan énonce un résultat fréquemment utilisé dans les recherches sur les fonctions entières. Le problème est d'estimer le produit $P(z)=\prod_{k=1}^n(z-z_k)$ en dehors du voisinage des zéros. On suppose que l'on connaît $n$ . Le théorème s'énonce ainsi

« Pour tout nombre $H > 0$ , on a
$|P(z)| >\Big(\frac{H}{e}\Big)^n$ en dehors de $n$ cercles dont la somme des rayons est au plus $2 H$ . »

[modifier] Le terme maximum de la série de Taylor

Soit $f(s)=\sum_{n=0}^\infty a_ns^n$ une fonction entière. La série $|a_0|, |a_1|r, |a_2|r^2, \ldots$ est une série décroissante à partir d'un certain rang et tendant vers 0, quel que soit $r$ . Il y a donc, pour chaque $r$ un terme supérieur ou égal à tous les autres. Soit $B (r)$ la valeur de ce terme et soit $μ(r)$ le rang (le plus grand, s'ils sont plusieurs) de ce terme. $B (r)$ est une fonction croissante de $r$ qui tend vers l'infini. D'après l'inégalité de Cauchy, on a $B (r) < M (r)$ .

« Le rang $μ(r)$ est une fonction non-décroissante de $r$ qui tend vers l'infini avec $r$ . »

Entre les fonctions $B (r)$ , $M (r)$ et $μ(r)$ existe une double inégalité:

$B(r) < M(r) < B(r)\Big[2\mu\Big(r+ \frac{r}{\mu(r)}\Big)+1\Big]$

et de cette double inégalité on déduit

« Pour une fonction d'ordre fini, les fonctions $ln B (r)$ et $ln M (r)$ sont asymptotiquement égales. »

On en déduit ensuite une relation sur $μ(r)$ :

« Pour une fonction entière parfaitement régulière d'ordre fini $ρ$ et d'ordre précisé $ρ(r)$ , on a $\mu(r) \approx \rho r^{\rho(r)}.$ »

De manière générale, on a la formule

$\ln B(r) = \ln B(r_0)+\int_{r_0}^r\frac{\mu(u)}{u}du.$

[modifier] Le lien entre la croissance et la distribution des zéros

Le résultat le plus profond est le petit théorème de Picard qu'on énonce ainsi

« Toute fonction entière prend toutes les valeurs complexes sauf une au plus. »

La valeur non prise éventuelle est appelée valeur exceptionnelle de Picard.

« Soit une fonction d'ordre fini $ρ$ , d'ordre précisé L $ρ(r)$ et $n (r)$ le nombre des zéros de module inférieur ou égal à $r$ . On a l'inégalité
$n(r) < \Big(1+o(1)\Big)\rho e r^{\rho(r)}.$ »

[modifier] Les fonctions entières d'ordre non-entier

Dans le cas des fonctions entières d'ordre non entier, celles-ci n'admettent aucune valeur exceptionnelle au sens du théorème de Picard. Ces fonctions ont donc une infinité de solutions à l'équation $f (s) = x$ , quelle que soit la valeur de $x$ et en particulier

« Toute fonction entière d'ordre non entier admet une infinité de zéros. »

[modifier] Les fonctions entières d'ordre entier

Si l'ordre est entier, le cas d'exception du théorème de Picard est possible. Dans ce cas, on a la précision suivante apportée par Émile Borel:

« Le nombre $n (x, r)$ des racines de l'équation $f (s) = x$ de module inférieur à $r$ ne peut être d'un ordre de grandeur inférieur à $ln M (r)$ que pour une seule valeur de $x$ au plus. »

On montre qu'il existe des fonctions entières d'ordre entier n'ayant qu'un nombre fini de zéros. Mais cela ne peut être le cas des fonctions entières paires dont l'ordre est un entier impair.

[modifier] Un théorème de Laguerre

Dans ses investigations sur les fonctions entières à la suite du mémoire fondateur de Weierstrass, Laguerre démontra que

« Si une fonction entière f admet des zéros tous réels, il en est de même de sa dérivée pourvu que le genre de f soit égal à 0 ou à 1. »

[modifier] Les fonctions entières et les angles

« Une fonction entière d'ordre $ρ > 1 / 2$ est d'ordre $ρ$ dans tout angle de mesure supérieure à $π(2 - 1 / ρ)$ . »

[modifier] Les valeurs asymptotiques

On peut se demander si une fonction entière peut, dans certaines régions, avoir une valeur asymptotique finie ou si elles ont toujours une limite finie. On sait qu'elles ne peuvent pas avoir de valeurs asymptotiques finies dans toutes les directions par suite du théorème de Liouville. On dit que f admet la valeur asymptotique a s'il existe un chemin, appelé chemin de détermination a pour lequel f(s) tend vers a quand s tend vers l'infini en restant sur le chemin.

Donc

« Pour toute fonction entière non constante, il existe au moins un chemin de détermination $\infty$ . »

« Pour une fonction d'ordre inférieur à 1/2, il existe une infinité de cercles de centre l'origine et de rayon indéfiniment croissant sur lesquels le module minimum tend vers l'infini. Il n'existe donc pas de valeur asymptotique finie pour les fonctions entières d'ordre inférieur à 1/2. »

En fait, Wiman a montré le théorème suivant:

« Pour une fonction $f$ d'ordre $ρ < 1 / 2$ et d'ordre précisé L $ρ(r)$ , on a, pour tout $ε > 0$ , l'inégalité
$ln | f (s) | > (cos(πρ) - ε) r ρ(r)$ sur une infinité de cercles de rayons tendant vers l'infini.
On a donc sur ces cercles
$ln | f (s) | > (cos(πρ) - ε)ln M (r).$ »

Supposons maintenant qu'une fonction entière possède deux chemins de déterminations a et b. Alors, dans le domaine défini entre les deux chemins de détermination soit il existe un chemin de détermination $\infty$ , soit les valeurs a et b sont égales et tout chemin vers l'infini inclus entre les deux chemins de détermination est un chemin de détermination a (=b).

[modifier] La fonction indicatrice

[modifier] Le théorème de Carlson

« Soit f une fonction entière d'ordre 1 et de type $σ f < π$ . La fonction f est entièrement déterminée par les valeurs {f(n)}, pour n=1, 2, ... De plus, si le type est strictement inférieur à ln 2, alors
$f(z)=\sum_{n=0}^\infty{\frac{z(z-1)\ldots(z-n+1)}{n!}(\Delta^n f)(0)}.$ »

[modifier] Le théorème de Polya

Les valeurs entières prises sur un ensemble par une fonction entière imposent des restrictions sur sa croissance. Polya, en 1915, a par exemple démontré le théorème suivant

« Soit $f$ une fonction entière prenant des valeurs entières sur l'ensemble des entiers non négatifs. Si
$\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{M_f(r)}{2^r} <1$ alors $f$ est un polynôme. »

Autrement dit, la plus petite (au sens de la croissance) fonction entière non polynomiale qui prend des valeurs entières sur les entiers naturels est la fonction $2 s .$

Ces résultats ont été généralisés aux fonctions entières prenant des valeurs entières sur une suite géométrique, ...

[modifier] La théorie des fonctions entières d'ordre infini de Blumenthal

un jour peut-être...

[modifier] Bibliographie

Barnes, A memoir on integral functions, philosophical transactions of the royal society of London, série A, Volume 199, 1902, p411-500
Boas, entire functions, Dover, 1954,
Borel, les fonctions entières, Gauthier-Villars, 1928 (deuxième édition)
Blumenthal, Les fonctions entières d'ordre infini, Cahiers scientifiques, 1914
Levine, entire functions, AMS,
Nevanlinna, Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes, Monographies sur la théorie des fonctions, Gauthier-Villars, 1929
Valiron, Fonctions convexes et fonctions entières, Bulletin de la SMF, T60, 1932
Valiron, Les fonctions entières d'ordre nul et d'ordre fini, thèse, 1914
Valiron, Fonctions entières d'ordre fini et fonctions méromorphes,
Valiron, Lectures on the general theory of integral functions, Chelsea Publishing, 1949
Valiron, Fonctions entières et fonctions méromorphes d'une variable, mémorial des sciences mathématiques, Gauthier-Villars, 1925.

[modifier] Notes et références

↑ Hadamard, étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier sur une fonction considérée par Riemann,Journal de mathématique pures et appliquée, Tome 9,1892

Catégorie : Analyse complexe