Algèbre sur un corps
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
|
En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit:
est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une - algèbre si :
- (E, +, ·) est un espace vectoriel sur
- la loi × est définie de E x E dans E ( loi de composition interne )
- la loi × est distributive, à gauche et à droite, par rapport à la loi + .
- pour tout (a, b) dans et pour tout (x, y) dans E2, (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)
Sommaire |
[modifier] Définitions
Soient un corps et A un espace vectoriel sur contenant l'opération binaire (c'est-à-dire , est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que (vecteurs) et (scalaires), ces identités sont vraies :
- ;
- ;
- ,
alors A est une algèbre sur . On dit que A est une -algèbre où est la base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.
peut être un anneau commutatif, dans ce cas, A et forment un module. Dans ce cas, A est une -algèbre et est l'anneau de base de A.
Deux algèbres A et B sur sont isomorphes s'il existe une bijection telle que f(xy) = f(x)f(y) .
[modifier] Propriétés
[modifier] Exemples
- L'ensemble des nombres complexes est une - algèbre associative et commutative.
- L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à valeur dans est une - algèbre associative et non commutative.
- L'espace euclidien muni du produit vectoriel est une un - algèbre non associative et non commutative.
- L'ensemble des quaternions est une - algèbre associative et non commutative.
- L'ensemble des octonions est une - algèbre non associative et non commutative.
- L'ensemble des biquaternions est une - algèbre associative et non commutative.