Série de Taylor

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En mathématiques, le développement en série de Taylor en un point a, d'une fonction f indéfiniment dérivable d'une variable réelle ou complexe sur un intervalle ouvert ]a-r, a+r[ est la série entière :

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$

Ici, n! est la factorielle de n et f ⁽ⁿ⁾(a) désigne la dérivée nème de f au point a.

Si cette série est convergente pour tout x appartenant à l'intervalle ]a-r, a+r[ et si la somme est égale à f(x), alors la fonction f est dite analytique. Pour déterminer si la série converge vers f(x), nous pouvons naturellement utiliser des estimations du reste de la formule de Taylor.

Si a = 0, la série est aussi appelée une série de Maclaurin.

L'importance d'une telle représentation en série entière est triple. En premier lieu, la différenciation et l'intégration de séries entières peuvent être exécutées terme à terme et sont par conséquent rendues particulièrement simples. En second lieu, une fonction analytique peut être prolongée de manière unique en une fonction holomorphe définie sur un disque ouvert dans le plan complexe, et cela permet d'utiliser tous les outils de l'analyse complexe. En troisième lieu, la somme partielle de la série entière peut être utilisée pour calculer des valeurs approchées de la fonction au voisinage d'un point.

Signalons qu'il existe des exemples de fonctions indéfiniment continûment dérivables f dont la somme de la série de Taylor est convergente mais qui n'est pas égale à f(x).

Par exemple, toutes les dérivées de f définie par f(x) = exp(-1/x²) sont nulles en x = 0, et donc la série de Taylor de f est nulle, et ainsi son rayon de convergence est infini, alors que la fonction n'est pas du tout nulle.

Certaines fonctions ne peuvent pas être développées en série de Taylor parce qu'elles ont une singularité ; dans certains cas, nous pouvons achever leur développement en série à condition de nous permettre de faire intervenir des puissances négatives de x ; voir série de Laurent.

[modifier] Liste des séries de Taylor

Nous allons donner d'importants développements en série de Taylor. Tous ces développements sont aussi valables pour une variable complexe x.

Fonction exponentielle et logarithme naturel :

$\mbox{ pour tout } x, \quad e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$

$\mbox{ pour } \left| x \right|<1, \quad \ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n$

Séries géométriques :

$\mbox{ pour } \left| x \right| < 1, \quad \frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n$

Théorème binomial (voir aussi coefficients binomiaux pour en avoir la définition générale) :

$\mbox{ pour tout } \left| x \right| < 1\mbox{ et pour tout nombre complexe } \alpha, \quad (1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n$

Fonctions trigonométriques :

$\mbox{ pour tout } x, \quad \sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

$\mbox{ pour tout } x, \quad \cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$

$\mbox{ pour } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}, \quad \tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-1)^{n-1}*4^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}$

$\mbox{ pour } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}, \quad \sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}$

$\mbox{ pour } \left| x \right| < 1, \quad \arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$

$\mbox{ pour } \left| x \right| < 1, \quad \arccos x = \frac{\pi}{2} - \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = \frac{\pi}{2} - \arcsin(x)$

$\mbox{ pour } \left| x \right| < 1, \quad \arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$

Fonctions hyperboliques :

$\mbox{ pour tout } x, \quad \operatorname{sh } x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

$\mbox{ pour tout } x, \quad \operatorname{ch } x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$

$\mbox{ pour } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}, \quad \operatorname{th } x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$

$\mbox{ pour } \left| x \right| < 1, \quad \operatorname{argsh } x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$

$\mbox{ pour } \left| x \right| < 1, \quad \operatorname{argth } x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}$

Fonction W de Lambert :

$\mbox{ pour } \left| x \right| < \frac{1}{e}, \quad W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n$

Les nombres B_k apparaissant dans les développements de tan(x) et de th(x) sont les nombres de Bernoulli. ${\alpha \choose n}$ est un coefficient binomial. Le nombre E_k dans le développement de sec(x) est un nombre d'Euler.