Fonction hyperbolique

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En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les nom de sinus, cosinus et tangente proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (ou circulaires) et le terme de hyperbolique provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x2 − y2 = 1.

Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.

Sommaire

[modifier] Histoire

Les fonctions hyperboliques ont été inventées par le jésuite Vincenzo Riccati dans les années 1760 alors qu'il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l'aire sous l'hyperbole d'équation x2 − y2 = 1. La méthode géométrique qu'il employa alors était très similaire à celle que l'on peut utiliser pour calculer l'aire d'un cercle d'équation x2 + y2 = 1. Le calcul de l'aire du cercle fait intervenir les fonctions trigonométriques classiques que Riccati nommait cosinus et sinus circulaires. Par analogie, il appela alors les fonctions qu'il venait de créer cosinus et sinus hyperboliques. Ce fut un choix heureux, car cette ressemblance ne s'arrête pas à la méthode de calcul d'aire mais aussi à toutes les formules trigonométriques. Cependant, pourtant au fait du travail de son contemporain Euler, il n'utilisa pas la fonction exponentielle pour les définir mais seulement des considérations géométriques. L'autre grand mathématicien ayant étudié les fonctions hyperboliques est Johann Heinrich Lambert qui en fit une étude complète en 1770. Cette quasi simultanéité fait que l'on attribue parfois à Lambert la paternité des fonctions hyperboliques bien que les écrits de Riccati lui soient antérieurs de quelques années.

[modifier] Définitions

Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions :

Sinus hyperbolique
Sinus hyperbolique
Cosinus hyperbolique
Cosinus hyperbolique
Tangente hyperbolique
Tangente hyperbolique

[modifier] Sinus hyperbolique

Définie comme étant la partie impaire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par :

\sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}

sinh – ou sh – est une bijection de classe C^\infty de \R dans \R strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est le cosinus hyperbolique. Son application réciproque s'appelle argument sinus hyperbolique et est notée argsinh ou argsh.

[modifier] Cosinus hyperbolique

Définie comme étant la partie paire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par :

\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}

cosh – ou ch – est une application de \R dans [1;+\infty[ strictement croissante sur \R^+, et paire. cosh est de classe C^{\infty} sur \R et sa dérivée est le sinus hyperbolique. Sa restriction à \R^+ est une bijection dont l'application réciproque, argument cosinus hyperbolique, est notée argcosh ou argch.

[modifier] Tangente hyperbolique

Définie par :

\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}

tanh – ou th – est une bijection de classe C^\infty de \R dans ] − 1;1[ strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est \tfrac{1}{\cosh^2} = 1-\tanh^2. Son application réciproque s'appelle argument tangente hyperbolique et est notée argtanh ou argth.

[modifier] Cotangente hyperbolique

Définie par :

\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}

coth est une bijection de classe C^\infty de \R^* dans ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[. Sa dérivée est \tfrac{-1}{\sinh^2}=1-\coth^2. Son application réciproque, argument cotangente hyperbolique, est notée argcoth.

[modifier] Sécante hyperbolique

Définie par :

\forall x \in \R,\quad\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}

[modifier] Cosécante hyperbolique

Définie par :

\forall x \in \R^*,\quad\operatorname{cosech}(x) = \frac{1}{\sinh(x)}

[modifier] tableau de variations

Les fonctions sont ou paires, ou impaires il suffit de les étudier sur [0,+ \infty [

x 0 + \infty
coshx 1 \rightarrow + \infty
sinhx 0 \rightarrow + \infty
tanhx 0 \rightarrow +1
cotanhx + \infty \rightarrow +1

[modifier] Propriétés

Par construction,

\qquad e^{+x} = \cosh(x) + \sinh(x)
\qquad e^{-x} = \cosh(x) - \sinh(x)

Ainsi, la formule suivante est vraie pour tout réel x :

\cosh^2x - \sinh^2x \,=\, 1

De même que les points (cos x, sin x) décrivent un cercle lorsque x parcourt \R, les points (cosh x, sinh x) décrivent une branche d'hyperbole ;

Le paramètre x ne peut pas être interprété comme un angle, ni comme une longueur d'arc ; les fonctions hyperboliques ne sont pas des fonctions périodiques.

La fonction cosh admet 1 pour minimum, pour x = 0.

La fonction sinh est impaire et ainsi sinh(0) = 0.

Les fonctions hyperboliques satisfont à des relations, très ressemblantes aux identités trigonométriques. En fait, la règle d'Osborne dit que l'on peut convertir n'importe quelle identité trigonométrique en une identité hyperbolique en la développant complètement à l'aide de puissances entières de sinus et cosinus, changeant sin en sinh et cos en cosh, et remplaçant le signe de chaque terme qui contient un produit de deux sinus en son opposé.

Cela nous permet d'obtenir par exemple, les « formules d'addition » :

\sinh(x + y) \,=\, \sinh(x)\, \cosh(y) + \cosh(x)\, \sinh(y)
\cosh(x + y) \,=\, \cosh(x)\, \cosh(y) + \sinh(x)\, \sinh(y)

et des «formules d'angle moitié» :

\cosh\left(\frac{x}{2}\right) \,=\, \sqrt{\frac{\cosh(x) + 1}{2}}
\sinh\left(\frac{x}{2}\right) \,=\, \sqrt{\frac{\cosh(x)-1}{2}}

De ces expressions on déduit les formules suivantes relatives à la tangente hyperbolique :

1 - \tanh^2(x)\,=\, \frac{1}{\cosh^2(x)}
\tanh(x+y)\,=\,\frac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\,\tanh(y)}
\tanh\left(\frac{x}{2}\right) \,=\, \sqrt{\frac{\cosh(x) - 1}{\cosh(x)+1}}

On a de même:

\sinh(2 x) \,=\, 2\,\cosh(x)\,\sinh(x)
\cosh(2 x) \,=\, \cosh^2(x) + \sinh^2(x) \,=\, 1 + 2\,\sinh^2(x) \,=\, 2\, \cosh^2(x) - 1
\tanh(2 x) \,=\, \frac{2 \tanh(x)}{\tanh^2(x) + 1}


La fonction cosinus hyperbolique est convexe. Elle intervient dans la définition de la chaînette, laquelle correspond à la forme que prend un câble suspendu à ses extrémités et soumis à son propre poids.

Puisque la fonction exponentielle peut être prolongée à l'ensemble des nombres complexes, nous pouvons aussi étendre les définitions des fonctions hyperboliques à l'ensemble des nombres complexes. Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont alors holomorphes et même entières.

De la formule d'Euler, on obtient immédiatement:

\cos(x) = \cosh(\imath x)
\sin(x) = -\imath\,\sinh(\imath x)

Ou encore:

\cosh(x) = \cos(\imath x)
\sinh(x) = -\imath\,\sin(\imath x)

[modifier] Applications réciproques

[modifier] Argument sinus hyperbolique

argsinh
argsinh

argsinh – ou argsh – est l'application réciproque de sinh. C'est une bijection de \R dans \R, impaire et strictement croissante. argsinh est dérivable sur \R et sa dérivée est x \mapsto \tfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}. argsinh admet une forme logarithmique, c’est-à-dire qu'il peut se mettre sous la forme d'un logarithme :

\arg\sinh(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 +1 }\right)

[modifier] Argument cosinus hyperbolique

Argument cosinus hyperbolique
Argument cosinus hyperbolique

argcosh est l'application réciproque de la restriction de cosh dans \R^+. C'est une bijection de [1,+\infty[ dans \R^+, strictement croissante. argcosh est dérivable sur ]1,+\infty[ et sa dérivée est x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}. argcosh admet une forme logarithmique:

\arg\cosh(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 -1}\right)

[modifier] Argument tangente hyperbolique

Argument tangente hyperbolique
Argument tangente hyperbolique

argtanh – ou argth – est l'application réciproque de tanh. C'est une bijection de ] − 1;1[ dans \R, impaire, strictement croissante. argtanh est dérivable sur ] − 1;1[ et sa dérivée est x \mapsto \tfrac{1}{1-x^2}. argtanh admet une forme logarithmique :

\arg\tanh(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)

[modifier] Argument cotangente hyperbolique

argcoth est l'application réciproque de coth. C'est une bijection de ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[ dans \R^*. argcoth est dérivable sur ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[ et sa dérivée est x \mapsto \tfrac{1}{1-x^2}. argcoth admet une forme logarithmique :

\arg\coth(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)

[modifier] Voir aussi

[modifier] Liens internes

[modifier] Liens externes

  • GonioLab: Visualisée des Cercle trigonométrique, fonctions de trigonométriques et hyperboliques (Java Web Start)
  • (en) Riccati pour la définition géométrique des fonctions hyperboliques