Fonction W de Lambert

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La fonction W de Lambert, nommée ainsi d'après Johann Heinrich Lambert, aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction f définie par :

\forall w\in\Complex,\quad f(w) = w e^w.

Ce qui implique que pour tout nombre complexe z, nous avons :

W(z)eW(z) = z

Puisque la fonction f n'est pas injective, la fonction W est multiforme.

Représentation graphique de la fonction W de Lambert
Représentation graphique de la fonction W de Lambert

Si nous nous limitons aux arguments réels x ≥ −1⁄e (ce qui exige w ≥ −1) alors il existe une fonction et une seule W0 définie, dont la représentation graphique figure à droite.

Les valeurs remarquables sont :

  • W\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{i\pi}{2}
  • W_0(0)=0\,
  • W_0\left(-\frac{1}{e}\right)=-1\,
  • W_0(1)=\Omega\,
  • W_0\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)=-\ln 2
  • W_0(e)=1\,

Où Ω est la constante oméga.

La fonction W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires. Elle est utile en combinatoire, par exemple dans l'énumération des arbres. Elle peut être utilisée pour résoudre diverses équations qui comportent des exponentielles et apparaît aussi dans les solutions d'équations différentielles à temps retardés, telles que y'(t) = ay(t − 1).

Par différentiation, on peut montrer que W satisfait l'équation différentielle :

z(1 + W) \frac{\mathrm dW}{\mathrm dz} = W pour z ≠ −1⁄e.

La série de Taylor de W0 au voisinage de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème d'inversion de Lagrange et est donnée par

W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n

Le rayon de convergence est égal à 1⁄e. Cette série peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel ]−∞, –1⁄e] ; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction W de Lambert.

Beaucoup d'équations impliquant des exponentielles peuvent être résolues par l'utilisation de la fonction W. La stratégie générale est de déplacer toutes les instances de l'inconnue d'un côté de l'équation et de le faire ressembler à xex. À ce point la fonction W nous fournit la solution. Par exemple, pour résoudre l'équation 2t = 5t, nous divisons par 2t pour obtenir 1 = 5t e−ln(2)t, nous divisons alors par 5 et multiplions par − ln(2) pour obtenir −ln(2)⁄5 = −ln(2)t exp(−ln(2)t). Maintenant l'application de la fonction W donne −ln(2)t = W(−ln(2)⁄5), soit t = −W(ln(2)/5)⁄ln(2).

Cette fonction permet aussi de résoudre des équations du type xx = z par:

x=\frac{\ln(z)}{W(\ln z)}=e^{\left(W(\ln(z)\right)}

La fonction W, et beaucoup de fonctions impliquant W, peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable w = W(x), i.e. x = wew :

\int W(x)\,\mathrm dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C

[modifier] Diverses formules

\int_{0}^{\pi} W\bigl( 2\cot^2(x) \bigr)\sec^2(x)\;\mathrm dx = 4\sqrt{\pi} (intégrale de Gauss en coordonnées polaires)

On obtient alors par changements de variable les égalités remarquables :

\int_{0}^{+\infty} W\bigl(\frac{1}{x^2}\bigr)\;\mathrm dx = \sqrt{2\pi}
\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}

[modifier] Référence