Série de Laurent

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La fonction f est holomorphe dans la couronne rouge, le chemin γ est tracé dans cette couronne
La fonction f est holomorphe dans la couronne rouge, le chemin γ est tracé dans cette couronne

En mathématiques, la série de Laurent d’une fonction complexe f(z) est la représentation de cette fonction en série entière qui inclut des termes de degré négatif. Elle peut être utilisée pour exprimer une fonction complexe dans le cas où l’extension en série de Taylor ne peut être appliquée. Les séries de Laurent furent nommées ainsi après leur publication par Pierre Alphonse Laurent en 1843. Karl Weierstrass les découvrit le premier mais il ne les publia jamais.

La série de Laurent pour une fonction f(z) aux alentours du point c est donnée par :

f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n.

où le terme an est donné par une intégrale curviligne qui est généralisée par la formule intégrale de Cauchy :

a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,

Un résultat très important dit que toute fonction holomorphe sur une couronne admet un développement de Laurent. Dans le cas particulier où la couronne est un disque épointé, on peut définir le résidu de cette fonction holomorphe comme le coefficient a − 1 de son developpement de Laurent.