Nombre d'Euler
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
|
Les nombres d'Euler sont une suite de nombres entiers positifs définis par le développement en série de Taylor suivant :
On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres Zig-Zag.
(À noter que e, la base des logarithmes naturels, est aussi appelée occasionnellement nombre d'Euler).
Les nombres d'Euler d'indice impair sont tous égaux à zéro. Ceux d'indice pair (suite A000364 de l'OEIS) sont positifs. Les premières valeurs sont :
[modifier] Premiers nombres d'Euler
- E0 = 1
- E2 = 1
- E4 = 5
- E6 = 61
- E8 = 1385
- E10 = 50521
- E12 = 2702765
- E14 = 199360981
- E16 = 19391512145
- E18 = 2404879675441
Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante (qui est la fonction dans la définition) :
et aussi (avec des signes) dans celui de la fonction sécante hyperbolique :
- .
Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations Zig-Zag de taille paire. Une configuration Zig-Zag de taille n est une liste de n nombres réels tels que
- .
Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres z sont les mêmes.
Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.