Quadrature du cercle
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La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube. Dans le plus ancien texte mathématique retrouvé, le papyrus Rhind (~1650 av. J.-C.), le scribe Ahmès proposait déjà une solution approchée du problème. Le premier scientifique grec à s'intéresser à la question a été Anaxagore de Clazomènes.
Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et d'un compas (voir nombre constructible). Il remonte à l'invention de la géométrie et a occupé de nombreux mathématiciens au cours des siècles. Grégoire de Saint-Vincent était passionné par le problème : estimant — à tort — l'avoir résolu, il exposa ses solutions dans un ouvrage de 1 000 pages[1]. C'est en 1837 que Pierre-Laurent Wantzel démontre un théorème qui permet d'exhiber la forme des équations dont sont solution les nombres constructibles à la règle et au compas. Puis en 1844, Joseph Liouville met en évidence l'existence des nombres transcendants. Mais il faudra attendre jusqu'en 1882 pour que le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre la transcendance de π pour appliquer le théorème de Wantzel au problème de la quadrature du cercle et ainsi démontrer qu'elle était impossible à réaliser. L'Académie des sciences, qui avait déjà pressenti ce résultat un siècle auparavant, n'acceptait plus de « preuve » de cette quadrature depuis 1775.[2]
La quadrature du cercle nécessite la construction à la règle et au compas de la racine carrée de π, 
, ce qui est impossible en raison de la transcendance de π : les nombres constructibles sont les rationnels et les racines de certains polynômes de degré 2n à coefficients entiers (plus précisément les éléments d'une tour d'extension quadratique) , ce sont des nombres algébriques ce qui n'est pas le cas de π.
Ce problème reste aujourd'hui encore populaire et de nombreux "quadrateurs" amateurs continuent à envoyer leurs "démonstrations" - forcément erronées - aux académies scientifiques.
[modifier] Métaphore
« Chercher la quadrature du cercle » est une expression désignant un problème insoluble.
[modifier] Notes et références
- ↑ Grégoire de Saint-Vincent, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum, J. et J. Meursios, Antverpiae, 1647.
- ↑ D'après le site de l'académie de St Andrew, Squaring the circle
