Méthode de Ferrari

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La méthode de Ferrari imaginée et mise au point par Ludovico Ferrari permet de résoudre les équations du quatrième degré, c'est-à-dire d'écrire les solutions comme une combinaison d'additions, soustractions, multiplications, divisions, et racines carrées, cubiques et quartiques de nombres rationnels.

[modifier] Principe de la méthode

Soit l'équation générale du quatrième degré suivante : \qquad a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0,

Le changement de variable affine \qquad x = z - \frac{b}{4a} montre que l'équation est équivalente à une équation de la forme \qquad z^4 + p z^2 + q z+ r = 0, qui s'écrit encore : \qquad z^4 = - p z^2 - q z - r .

\qquad p= \frac{-3b^2}{8a^2} + \frac{c}{a}

\qquad q= \frac{(b/2)^3}{a^3} - \frac{(1/2)bc}{a^2} + \frac{d}{a}

\qquad r= -3(\frac{b/4}{a})^4 + c(\frac{(b/4)^2}{a^3}) - \frac{(1/4)bd}{a^2} + \frac{e}{a}

Le point central de la méthode consiste à remplacer le monôme z4 par le polynôme (z2+y)2, paramétré par y, et de trouver une valeur de y convenable, qui permette, via une identité remarquable de factoriser l'expression :

\begin{array}{rl} 0=(z^2 + y)^2 - z^4 - 2yz^2 - y^2& =(z^2+y)^2 + p z^2 + q z + r - 2yz^2 - y^2\\ &=(z^2+y)^2 -(2y - p)z^2 + qz - y^2 + r.\\\end{array}

Plus précisément, il s'agit de déterminer y de façon à ce que le terme (2y − p)z2 − qz + y2 − r, vu comme polynôme du second degré en z, s'écrive sous forme de carré, ce qui est équivalent à l'annulation de son discriminant : q2 − 4(2y − p)(y2 − r), c’est-à-dire à :

\qquad 8y^3 - 4py^2 - 8ry + 4rp - q^2 = 0

Cette équation se résout par radicaux en utilisant, par exemple, la méthode de Cardan, qui donne au moins une valeur réelle y0 convenable. En reportant la valeur y0 obtenue dans l'équation précédente, on obtient :

\qquad (z^2 + y_0)^2 - (a_0z + b_0)^2 = 0 avec a (réel ou complexe) tel que a_0^2 = -p+2y_0 et b tel que b_0 = - \frac{q}{2a_0} ; et, par une identité remarquable, cette égalité est équivalente à :

\qquad (z^2 + y_0 - a_0z - b_0)(z^2 + y_0 + a_0z + b_0) = 0

ce qui équivaut à l'annulation d'un des deux facteurs du second degré en z :

\qquad z^2 + y_0 - a_0z - b_0 = 0

\qquad z^2 + y_0 + a_0z + b_0 = 0

Chacune de ces deux équations fournit deux valeurs pour z, soit quatre valeurs en tout pour z, et les valeurs de x solutions de l'équation initiale s'en déduisent.

[modifier] Exemple

Nous nous proposons de résoudre l'équation :

x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 8x - 10 = 0 ~

Posons :

x = z - 1 \qquad (*)~

En remplaçant dans l'équation, on obtient :

z^4 - 3z^2 - 6z - 2 = 0 \qquad (**)~

y étant un nombre complexe quelconque, développons maintenant l'expression :

(z^2 + y)^2 = z^4 + 2yz^2 + y^2~

Qui, compte tenu de (**), peut s'écrire :

(z^2 + y)^2 = 3z^2 + 6z + 2 + 2yz^2 + y^2~

Mettons le second membre sous forme de polynôme en z :

(z^2 + y)^2 = (3 + 2y)z^2 + 6z + y^2 + 2 \qquad(***) ~

Si l'on veut que le second membre se mette aussi sous forme de carré, il faut trouver une valeur de y telle que le polynôme en z ait une racine double. Soit une valeur de y telle que le discriminant du polynôme en z soit nul, c’est-à-dire telle que :

6^2 -4(3 + 2y)(y^2 + 2) = 0 ~

Qui se simplifie sous la forme :

2y^3 + 3y^2 + 4y -3 = 0 ~

Nous remarquons que cette équation du troisième degré en y admet la racine évidente :

y = 0.5 ~

(Ce qui nous évite dans cet exemple d'utiliser une méthode plus élaborée comme la méthode de Cardan pour la résoudre).

On fixe y à cette valeur que l'on reporte dans (***), nous obtenons :

(z^2 + 0.5)^2 = 4z^2 + 6z + 2.25 ~

Et comme prévu, le second membre se met bien sous forme de carré :

(z^2 + 0.5)^2 = [ 2z + 1.5 ]^2 ~

Qui s'écrit :

(z^2 + 0.5)^2 - [ 2z + 1.5 ]^2 = 0 ~

Nous avons une différence de carré que l'on peut donc écrire :

[z^2 + 2z + 2][z^2 - 2z - 1] = 0 ~

Nous sommes donc ramené à résoudre les deux équations :

z^2 + 2z + 2 = 0 ~

z^2 - 2z - 1 = 0 ~

Les discriminants de ces deux équations sont :

Pour la première équation :

\triangle_1 = 4 - 4*2 = -4 ~

Pour la deuxième équation :

\triangle_2 = 4 - 4*(-1) = 8 ~

Nous en déduisons les quatre valeurs possibles de z.

Pour la première équation :

z_1 = \frac{-2 - 2i}{2} = - 1 - i ~

z_2 = \frac{-2 + 2i}{2} = - 1 + i ~

Pour la deuxième équation :

z_3 = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2} ~

z_4 = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} ~

En reportant ces quatre valeurs de z dans (*), on obtient :

x_1 = -2 - i ~

x_2 = -2 + i ~

x_3 = - \sqrt{2} ~

x_4 = \sqrt{2} ~

Qui sont bien les quatre racines de l'équation à résoudre.

[modifier] Autres méthodes de résolution d'équations

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