Méthode de Descartes

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La méthode de Descartes dite par coefficients indéterminés permet de résoudre les équations du second, mais surtout du quatrième degré.

René Descartes utilise pour ceci la factorisation des polynômes de degré N sous la forme (x - x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n) avec x_1, \cdots, x_n les n racines réelles ou complexes (voir Théorème de d'Alembert-Gauss) qu'il est alors l'un des premiers mathématiciens à maîtriser.

Pour résoudre le second degré, on part alors de la relation parfois dite de François Viète que l'on obtient en développant :

x_1 + x_2 = - \frac ba ~
x_1x_2 = \frac ca

On pose alors

x_1 = -\frac{b}{2a } + p ~
x_2 = -\frac{b}{2a} -p ~

avec p une quantité réelle que l'on va chercher à déterminer dans l'autre relation.

Cette astuce est très importante : lorsqu'on a une somme de deux nombres A et B valant un réel C, on peut toujours écrire A comme la somme de la moitié de C et d'une certaine quantité; B, pour maintenir l'égalité A + B = C, vaudra forcément la moitié de C moins cette quantité.

On arrive alors à

(-\frac{b}{2a } + p)(-\frac{b}{2a } - p) = \frac ca ~

ce qui amène par simple développement à p, puis aux deux racines, dont la formule est célèbre!

Cette méthode sert plus particulièrement à résoudre les équations du quatrième degré; il faut d'abord voir le polynôme

X^4 + AX^2 + BX + C ~

( auquel on s'est ramené par division par le coefficient de X puis une translation algébrique qui supprime le X à la puissance 3, voir les articles sur la Méthode de Ferrari et la Méthode de Cardan pour plus d'informations ) comme le produit de deux polynômes du second degré, et non pas comme le produit de quatre polynômes du premier degré ; les coefficients doivent être trouvés de sorte qu'en développant, on trouve bien les coefficients A, B, et C On pose donc

( X^2 + aX +b )( X^2 -aX +c ) = X^4 + AX^2 + BX + C ~

Ceci amène à un système traitable, le lecteur pourra vérifier en développant :

\begin{cases} b+c = a^2+ A & (1)\\ a(c - b)= B & (2)\\ bc = C & (3) \end{cases}

Le but étant ensuite de n'avoir plus qu'à résoudre deux équations du second degré pour sortir les quatre racines !

Ici, on pose

b = \frac 12( a^2 + A + p ) ~

on appelle par convention la quantité indéterminée \frac 12 p pour simplifier les calculs. On la détermine dans l'expression (2) : le lecteur pourra vérifier que

p = - \frac Ba ~

dans la dernière expression, on exprime b et c entièrement en fonction de a, ce qui aboutit à une équation dite résolvante, en développant un peu :

a^6 + 2Aa^4 + (A^2 - 4C)a^2 - B^2 = 0 ~

qui, en posant z = a2, se ramène à un équation du troisième degré, la formule de Cardan donne donc à tous les coups un réel solution dont la racine carré vaudra a :

z^3 + 2Az^2 + (A^2-4C)z-B^2 = 0 ~

b et c se trouvent facilement avec les relations ci-dessus et au final, on trouvera des formules équivalentes à celles de Ferrari.

[modifier] Exemple

Nous nous proposons de résoudre l'équation :

x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 8x - 10 = 0 ~

Posons :

x = X - 1 \qquad (*) ~

En remplaçant dans l'équation, on obtient :

X^4 - 3X^2 - 6X - 2 = 0 \qquad (**) ~

En développant l'équation :

( X^2 + aX +b )( X^2 -aX +c ) = 0 \qquad (***) ~

Et en identifiant avec l'équation (**), on obtient:

\begin{cases} b+c = a^2 - 3 & (1)\\ a(c - b)= -6 & (2)\\ bc = -2 & (3) \end{cases}

Posons :

b = \frac{1}{2}(a^2 - 3 + p) ~

c = \frac{1}{2}(a^2 - 3 - p) ~

Ce qui, pour tout p, vérifie (1).

On peut maintenant déterminer p en portant b et c dans (2), on obtient :

p = \frac{6}{a} ~

On a donc :

b = \frac{1}{2}(a^2 - 3 + \frac{6}{a}) ~

c = \frac{1}{2}(a^2 - 3 - \frac{6}{a}) ~

Portons maintenant ces valeurs de b et c dans (3), on obtient :

\frac{1}{4}(a^2 - 3 + \frac{6}{a})(a^2 - 3 - \frac{6}{a}) = -2 ~

Qui se met sous la forme :

(a^2-3)^2 - \frac{36}{a^2} = -8 ~

En multipliant par a2 et en développant, on obtient :

a^2(a^4 - 6a^2 + 9) - 36 = -8a^2 ~

Et finalement :

a^6 - 6a^4 + 17a^2 - 36 = 0 ~

Posons :

z = a^2 ~

On obtient :

z^3 - 6z^2 + 17z - 36 = 0 ~

Cette équation admet pour racine évidente :

z = 4 ~

(S'il n'y a pas de racines évidentes, on peut résoudre l'équation en utilisant, par exemple, la méthode de Cardan)

On en déduit :

a = 2 ~

Et par suite :

b = \frac{1}{2}(a^2 - 3 + \frac{6}{a}) = \frac{1}{2}(2^2 - 3 + \frac{6}{2}) = 2 ~

c = \frac{1}{2}(a^2 - 3 - \frac{6}{a}) = \frac{1}{2}(2^2 - 3 - \frac{6}{2}) = -1 ~

En reportant les valeurs de a, b, c dans (***), on obtient :

( X^2 + 2X +2 )( X^2 -2X - 1 ) = 0 ~

On est donc ramené à résoudre les deux équations :

X^2 + 2X +2 = 0 ~

X^2 -2X - 1 = 0 ~

Les discriminants de ces deux équations sont :

Pour la première équation :

\triangle_1 = -4 = (2i)^2 ~

Pour la deuxième équation :

\triangle_2 = 8 = (2\sqrt{2})^2 ~

Nous en déduisons les quatre valeurs possibles de X.

Pour la première équation :

X_1 = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i ~

X_2 = \frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i ~

Pour la deuxième équation :

X_3 = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} ~

X_4 = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2} ~

En reportant ces quatre valeurs de X dans (*), on obtient :

x_1 = -2 + i ~

x_2 = -2 - i ~

x_3 = \sqrt{2} ~

x_4 = -\sqrt{2} ~

Qui sont bien les quatre racines de l'équation à résoudre.

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