Méthode de Sotta

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La méthode de Sotta, imaginée et mise au point par Bernard Sotta, permet de résoudre toutes les équations du troisième degré et peut se généraliser à certaines équations de degré supérieur ou égal à 4 si les coefficients de ces équations vérifient certaines conditions.

Ces équations fournissent des exemples d'équations qui, bien qu'ayant un degré supérieur ou égal à 5, ont un groupe de Galois résoluble. Nous savons en effet que les équations de degré supérieur ou égal à 5 n'ont pas forcément un groupe de Galois résoluble. Ce qui permet d'affirmer qu'il n'existe pas de méthode générale pour les résoudre. (voir Théorie de Galois).

Sommaire

1 Principe de la méthode
2 Application à la résolution des équations de degré 3
3 Application à la résolution des équations de degré 4
4 Application à la résolution des équations de degré 5
5 Application à la résolution des équations de degré 6
6 Application à la résolution des équations de degré 7
7 Compléments
8 Exemples
- 8.1 Exemple 1
- 8.2 Exemple 2
9 Equations dont l'équation résolvante admet une racine double
10 Autres méthodes de résolution d'équations

[modifier] Principe de la méthode

Dans tout cet article n est un nombre entier représentant le degré de l'équation à résoudre.

Toutes les autres lettres représentent des nombres complexes.

Par convention $\sqrt[n]{a}$ désigne n'importe laquelle des n racines n^ème de a, il en est de même de $\sqrt[n]{f}$

Considérons une équation de degré n avec n > 2 :

$\qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$

Vérifiant les deux conditions :

$2na_na_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^2 \neq 0 ~$

$3(n-1)a_{n-1}a_{n-3} - 2(n-2)a_{n-2}^2 \neq 0 ~$

Ces deux conditions permettent de garantir que l'équation résolvante définie ci-dessous existe et n'a pas de racines nulles.

Nous supposerons par la suite que ces conditions sont vérifiées sauf indications contraires.

Nous appellerons équation résolvante de Sotta associée à l'équation précédente, l'équation du second degré suivante :

$\qquad (n-1)(n-2)[2na_na_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^2]X^2 + 2(n-1)[3na_na_{n-3}-(n-2)a_{n-1}a_{n-2}]X + 6(n-1)a_{n-1}a_{n-3} - 4(n-2)a_{n-2}^2= 0$

Nous avons alors le théorème suivant (théorème de Sotta) :

Si l'équation :

$\qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$

admet des racines sous la forme :

$\qquad \frac{b\sqrt[n]{a} - c\sqrt[n]{f}}{d\sqrt[n]{a} - e\sqrt[n]{f}}$

(d et e non nul).

alors $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ sont les deux racines de l'équation résolvante.

a et f sont alors donné par les deux relations :

$\qquad a = e^na_{n-1}+nce^{n-1}a_n$
$\qquad f = d^na_{n-1}+nbd^{n-1}a_n$

Les n racines de l'équation proposée seront alors :

$\qquad x_k = \frac{be^{\frac{2ki\pi}{n}}\sqrt[n]{a} - c\sqrt[n]{f}}{de^{\frac{2ki\pi}{n}}\sqrt[n]{a} - e\sqrt[n]{f}}$ avec k prenant successivement toutes les valeurs entières de 0 à n-1

Sauf précision contraire, les paragraphes suivant supposent que l'équation résolvante n'admet pas une racine double. Le cas particulier où l'équation résolvante admet une racine double est traité en fin d'article.

[modifier] Application à la résolution des équations de degré 3

Toutes les équations de degré 3 ayant trois racines distinctes admettent des racines sous la forme :

$\frac{b\sqrt[3]{a} - c\sqrt[3]{f}}{d\sqrt[3]{a} - e\sqrt[3]{f}}~$

par conséquent, la méthode de Sotta permet de résoudre toutes les équations de degré 3.

Soit donc l'équation suivante :

$a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 ~$

Premier cas : Si $(3a_3a_1-a_2^2) \not = 0$ et $(3a_0a_2-a_1^2) \not = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré avec des racines non nulles).

La résolvante de Sotta associée sera :

$(3a_3a_1-a_2^2)X^2 + (9a_3a_0-a_2a_1)X + 3a_2a_0 - a_1^2= 0 ~$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^3a_2+3ce^2a_3 ~$
$f = d^3a_2+3bd^2a_3 ~$

Les trois racines de l'équation à résoudre seront alors :

$\qquad x_1 = \frac{b\sqrt[3]{a} - c\sqrt[3]{f}}{d\sqrt[3]{a} - e\sqrt[3]{f}}$

$\qquad x_2 = \frac{bj\sqrt[3]{a} - c\sqrt[3]{f}}{dj\sqrt[3]{a} - e\sqrt[3]{f}}$

$\qquad x_3 = \frac{bj^2\sqrt[3]{a} - c\sqrt[3]{f}}{dj^2\sqrt[3]{a} - e\sqrt[3]{f}}$

avec :

$\qquad j = e^{\frac{2i\pi}{3}} ~$

Remarque : Si l'équation résolvante admet une racine double α, celle-ci est aussi racine double de l'équation à résoudre et la troisième racine simple β manquante est obtenue par la relation :

$\beta = - \frac{a_0}{a_3.\alpha^2} ~$

En effet, en désignant par α, β, γ, les trois racines de l'équation à résoudre, celle-ci peut se mettre sous la forme :

$(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = 0 ~$

En développant le premier membre et en formant l'équation résolvante, on obtient une équation du second degré dont le discriminant Δ peut se factoriser sous la forme :

$\Delta = -3(\alpha - \beta)^2(\alpha - \gamma)^2(\beta - \gamma)^2 ~$

Si l'équation résolvante a une racine double, cela signifie que son discriminant Δ est nul. Nous voyons alors que cela n'est possible que si deux des nombres parmis α, β, γ sont égaux et on vérifie que cette valeur commune se trouve ètre justement la racine double de l'équation résolvante.

Inversement, on montre que si l'équation à résoudre admet une racine double, l'équation résolvante admet aussi la même racine double.

Deuxième cas : Si $(3a_3a_1-a_2^2) = 0$ (On est dans le cas: d ou e nul)

On multiplie par 3a₁a₂ tous les termes de l'équation :

$a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 ~$

On obtient :

$3a_1a_2a_3x^3 + 3a_1a_2^2 x^2 + 3a_1^2a_2 x + 3a_1a_2a_0 = 0 ~$

Comme :

$3a_3a_1 = a_2^2 ~$

L'équation devient :

$a_2^3 x^3 + 3a_1a_2^2 x^2 + 3a_1^2a_2 x + 3a_0a_1a_2 = 0 ~$

Qui se met sous la forme :

$\left(a_2x + a_1 \right)^3 = a_1^3 - 3a_0a_1a_2 ~$

On en déduit les trois racines de l'équation à résoudre :

$x_1 = \frac{1}{a_2}\left(\sqrt[3]{a_1^3 - 3a_0a_1a_2} - a_1 \right) ~$

$x_2 = \frac{1}{a_2}\left(j\sqrt[3]{a_1^3 - 3a_0a_1a_2} - a_1 \right) ~$

$x_3 = \frac{1}{a_2}\left(j^2\sqrt[3]{a_1^3 - 3a_0a_1a_2} - a_1 \right) ~$

Troisième cas : Si $(3a_0a_2-a_1^2) = 0$ (On est dans le cas: b ou c nul)

On multiplie par 3a₁a₂ tous les termes de l'équation :

$a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 ~$

On obtient :

$3a_1a_2a_3x^3 + 3a_1a_2^2 x^2 + 3a_1^2a_2 x + 3a_0a_1a_2 = 0 ~$

Comme :

$3a_0a_2 = a_1^2 ~$

L'équation devient :

$3a_1a_2a_3x^3 + 3a_1a_2^2 x^2 + 3a_1^2a_2 x + a_1^3 = 0 ~$

Divisons maintenant chaque terme par x³, on obtient :

$3a_1a_2a_3 + 3\left(\frac{a_1}{x}\right)a_2^2 + 3\left(\frac{a_1}{x}\right)^2a_2 + \left(\frac{a_1}{x}\right)^3 = 0 ~$

Qui se met sous la forme :

$\left(\frac{a_1}{x} + a_2 \right)^3 = a_2^3 - 3a_1a_2a_3 ~$

On en déduit les trois racines de l'équation à résoudre :

$x_1 = \frac{a_1}{\sqrt[3]{a_2^3 - 3a_1a_2a_3} - a_2} ~$

$x_2 = \frac{a_1}{j\sqrt[3]{a_2^3 - 3a_1a_2a_3} - a_2} ~$

$x_3 = \frac{a_1}{j^2\sqrt[3]{a_2^3 - 3a_1a_2a_3} - a_2} ~$

[modifier] Application à la résolution des équations de degré 4

Les équations de degré 4 :

$\qquad a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad \frac{b\sqrt[4]{a} - c\sqrt[4]{f}}{d\sqrt[4]{a} - e\sqrt[4]{f}}$

seulement si :

$\qquad 27a_4a_1^2-72a_4a_2a_0+2a_2^3-9a_3a_2a_1+27a_3^2a_0=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 4 vérifiant cette condition de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

Premier cas : Si $(8a_4a_2-3a_3^2) \not = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (24a_4a_2-9a_3^2)X^2 + (36a_4a_1-6a_3a_2)X + 9a_3a_1 - 4a_2^2= 0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^4a_3+4ce^3a_4 ~$
$f = d^4a_3+4bd^3a_4 ~$

Les quatre racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_k = \frac{be^{\frac{2ki\pi}{4}}\sqrt[4]{a} - c\sqrt[4]{f}}{de^{\frac{2ki\pi}{4}}\sqrt[4]{a} - e\sqrt[4]{f}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3.

Deuxième cas : Si $(8a_4a_2-3a_3^2) = 0$ .

Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.

[modifier] Application à la résolution des équations de degré 5

Les équations de degré 5 :

$\qquad a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad \frac{b\sqrt[5]{a} - c\sqrt[5]{f}}{d\sqrt[5]{a} - e\sqrt[5]{f}}$

seulement si :

$\qquad 10a_5a_2^2-20a_5a_3a_1+a_3^3-4a_4a_3a_2+8a_4^2a_1=0$
$\qquad 8a_4a_1^2-20a_4a_2a_0+a_2^3-4a_3a_2a_1+10a_3^2a_0=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 5 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,$

Premier cas : Si $(5a_5a_3-2a_4^2) \not = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (10a_5a_3-4a_4^2)X^2 + (10a_5a_2-2a_4a_3)X + 2a_4a_2 - a_3^2= 0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^5a_4+5ce^4a_5 ~$
$f = d^5a_4+5bd^4a_5 ~$

Les cinq racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_k = \frac{be^{\frac{2ki\pi}{5}}\sqrt[5]{a} - c\sqrt[5]{f}}{de^{\frac{2ki\pi}{5}}\sqrt[5]{a} - e\sqrt[5]{f}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4.

Deuxième cas : Si $(5a_5a_3-2a_4^2) = 0$ .

Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.

[modifier] Application à la résolution des équations de degré 6

Les équations de degré 6 :

$\qquad a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad \frac{b\sqrt[6]{a} - c\sqrt[6]{f}}{d\sqrt[6]{a} - e\sqrt[6]{f}}$

seulement si :

$\qquad 135a_6a_3^2-240a_6a_4a_2+16a_4^3-60a_5a_4a_3+100a_5^2a_2=0$
$\qquad 160a_5a_2^2-300a_5a_3a_1+27a_3^3-96a_4a_3a_2+160a_4^2a_1=0$
$\qquad 100a_4a_1^2-240a_4a_2a_0+16a_2^3-60a_3a_2a_1+135a_3^2a_0=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 6 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,$

Premier cas : Si $(12a_6a_4-5a_5^2) \not = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (120a_6a_4-50a_5^2)X^2 + (90a_6a_3-20a_5a_4)X + 15a_5a_3 - 8a_4^2= 0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^6a_5+6ce^5a_6 ~$
$f = d^6a_5+6bd^5a_6 ~$

Les six racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_k = \frac{be^{\frac{2ki\pi}{6}}\sqrt[6]{a} - c\sqrt[6]{f}}{de^{\frac{2ki\pi}{6}}\sqrt[6]{a} - e\sqrt[6]{f}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Deuxième cas : Si $(12a_6a_4-5a_5^2) = 0$ .

Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.

[modifier] Application à la résolution des équations de degré 7

Les équations de degré 7 :

$\qquad a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad \frac{b\sqrt[7]{a} - c\sqrt[7]{f}}{d\sqrt[7]{a} - e\sqrt[7]{f}}$

seulement si :

$\qquad 189a_7a_4^2-315a_7a_5a_3+25a_5^3-90a_6a_5a_4+135a_6^2a_3=0$
$\qquad 135a_6a_3^2-225a_6a_4a_2+27a_4^3-90a_5a_4a_3+125a_5^2a_2=0$
$\qquad 125a_5a_2^2-225a_5a_3a_1+27a_3^3-90a_4a_3a_2+135a_4^2a_1=0$
$\qquad 135a_4a_1^2-315a_4a_2a_0+25a_2^3-90a_3a_2a_1+189a_3^2a_0=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 7 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,$

Premier cas : Si $(7a_7a_5-3a_6^2) \not = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (105a_7a_5-45a_6^2)X^2 + (63a_7a_4-15a_6a_5)X + 9a_6a_4 - 5a_5^2= 0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^7a_6+7ce^6a_7 ~$
$f = d^7a_6+7bd^6a_7 ~$

Les sept racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_k = \frac{be^{\frac{2ki\pi}{7}}\sqrt[7]{a} - c\sqrt[7]{f}}{de^{\frac{2ki\pi}{7}}\sqrt[7]{a} - e\sqrt[7]{f}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Deuxième cas : Si $(7a_7a_5-3a_6^2) = 0$ .

Voir le paragraphe Compléments ci-après.

[modifier] Compléments

Ce paragraphe examine plus en détail, pour n > 3, le cas où la résolvante n'est pas du second degré. C'est-à-dire si :

$2na_na_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^2 = 0 ~$

En fait cette condition entraine que tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.

Démonstration

Nous présentons la démonstration pour les équations du cinquième degré. Mais cette démonstration est aisément adaptable aux autres degrés.

Supposons donc que le coefficient du second degré de l'équation résolvante soit nul :

$10a_5a_3-4a_4^2 = 0 ~$

Nous remarquons que la première condition de résolubilité :

$10a_5a_2^2-20a_5a_3a_1+a_3^3-4a_4a_3a_2+8a_4^2a_1=0 ~$

peut s'écrire sous la forme :

$(\frac{a_3^2}{10a_5} - 2a_1)(10a_5a_3-4a_4^2) + 10a_5(a_2 - \frac{a_4a_3}{5a_5})^2 = 0 ~$

Ce qui compte tenu de l'hypothèse :

$10a_5a_3-4a_4^2 = 0 ~$

entraine :

$a_2 = \frac{a_4a_3}{5a_5} ~$

Ce qui s'écrit :

$10a_5a_2 - 2a_4a_3 = 0 ~$

Ce qui montre que le coefficient de degré 1 est nul

Calculons ensuite le coefficient du terme de degré 0 de l'équation résolvante :

$2a_4a_2 - a_3^2 = 2a_4\frac{a_4a_3}{5a_5} - a_3^2 = \frac{2a_4^2a_3 - 5a_5a_3^2}{5a_5} = \frac{-a_3}{10a_5}(10a_5a_3 - 4a_4^2) = 0$

Nous avons bien démontrer que tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.

Nous avons alors deux possibilités.

Premier cas : Tous les coefficients de l'équation à résoudre ne sont pas nuls.

Alors l'équation à résoudre se met sous la forme :

$(ax + b)^n = c ~$

Démonstration

Nous présentons la démonstration pour les équations du cinquième degré. Mais cette démonstration est aisément adaptable aux autres degrés.

Soit l'équation à résoudre :

$a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 = 0 ~$

Vérifiant ses deux conditions de résolubilités et dont tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.

Posons :

$a_3 = t ~$

$a_4 = s ~$

Avec s et t non nuls puisque tous les coefficients de l'équation à résoudre sont non nuls.

La condition :

$10a_5a_3 - 4a_4^2 = 0 ~$

entraine :

$a_5 = \frac{2a_4^2}{5a_3} = \frac{2s^2}{5t} ~$

La condition :

$2a_4a_2 - a_3^2 = 0 ~$

entraine :

$a_2 = \frac{a_3^2}{2a_4} = \frac{t^2}{2s} ~$

La condition :

$8a_4a_1^2-20a_4a_2a_0+a_2^3-4a_3a_2a_1+10a_3^2a_0=0 ~$

S'écrit en remplaçant ce qui est connue :

$8sa_1^2-20s\frac{t^2}{2s}a_0+(\frac{t^2}{2s})^3-4t\frac{t^2}{2s}a_1+10t^2a_0 = 0 ~$

Qui se simplifie sous la forme :

$8sa_1^2 - 2\frac{t^3}{s}a_1 + \frac{t^6}{8s^3} = 0 ~$

En multipliant par 8s³, on obtient :

$64s^4a_1^2 - 16s^2t^3a_1 + t^6 = 0 ~$

Cette expression se factorise sous la forme :

$(8s^2a_1 - t^3)^2 = 0 ~$

D'ou l'on déduit :

$a_1 = \frac{t^3}{8s^2} ~$

En repportant tous les coefficients que l'on a calculé dans l'équation à résoudre, on obtient :

$\frac{2s^2}{5t}x^5 + sx^4 + tx^3 + \frac{t^2}{2s}x^2 + \frac{t^3}{8s^2}x + a_0 = 0 ~$

En multipliant tous les termes par :

$5.2^4.s^3t ~$

On obtient :

$2^5s^5x^5 + 5.2^4s^4tx^4 + 10.2^3.s^3t^2x^3 + 10.2^2s^2t^3x^2 + 5.2st^4x + 5.2^4s^3ta_0 = 0 ~$

Qui peut s'écrire sous la forme :

$(2sx + t)^5 = t^5 - 5.2^4s^3ta_0 ~$

En posant :

$a = 2s ~$

$b = t ~$

$c = t^5 - 5.2^4.s^3ta_0 ~$

Nous voyons que l'équation à résoudre se met bien sous la forme :

$(ax + b)^n = c ~$

Et l'on en déduit les n racines :

$x_k = \frac{1}{a}\left(e^{\frac{2ki\pi}{n}}\sqrt[n]{c} - b \right) ~$

Avec k prenant successivement toutes les valeurs entières de 0 à n-1

Deuxième cas : Certains coefficients de l'équation à résoudre sont nuls.

La méthode ne permet pas, en général, d'aboutir.

L'équation peut même ètre non résoluble par radicaux comme c'est le cas des équations du type :

$ax^5 + bx + c = 0 ~$

Dont on démontre qu'elles ne sont pas en général résolubles par radicaux pour b différent de 0.

[modifier] Exemples

Les deux exemples qui suivent ont été choisis de façon à ce que l'équation résolvante ait un discriminant sous forme de carré parfait afin de simplifier les calculs. Mais la méthode s'applique aussi bien lorsque le discriminant n'est pas un carré parfait, est négatif, ou est un nombre complexe quelconque.

[modifier] Exemple 1

Soit à résoudre l'équation :

$\qquad 6x^3 - 6x^2 + 12x + 7 = 0$

La résolvante de Sotta est :

$\qquad 2X^2 + 5X - 3 = 0$

qui a pour racine :

$\qquad \frac{b}{d} = \frac{1}{2} et \frac{c}{e} = -3$

On peut choisir :

$\qquad b = 1, c = -3, d = 2, e = 1$

d'où :

$\qquad a = e^3a_2+3ce^2a_3 = -60$

$\qquad f = d^3a_2+3bd^2a_3 = 24$

En posant :

$\qquad j = e^{\frac{2i\pi}{3}}$

On obtient les trois racines suivantes :

$\qquad x_1 = \frac{\sqrt[3]{-60} - (-3)\sqrt[3]{24}}{2\sqrt[3]{-60} - \sqrt[3]{24}} = \frac{\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}$

$\qquad x_2 = \frac{j\sqrt[3]{-60} - (-3)\sqrt[3]{24}}{2j\sqrt[3]{-60} - \sqrt[3]{24}} = \frac{j\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{2}}{2j\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}$

$\qquad x_3 = \frac{j^2\sqrt[3]{-60} - (-3)\sqrt[3]{24}}{2j^2\sqrt[3]{-60} - \sqrt[3]{24}} = \frac{j^2\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{2}}{2j^2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}$

[modifier] Exemple 2

Soit à résoudre l'équation :

$\qquad 14x^5 - 36x^4 + 32x^3 - 24x^2 - 2x - 3 = 0$

On a alors :

$\qquad a_5 = 14$
$\qquad a_4 = -36$
$\qquad a_3 = 32$
$\qquad a_2 = -24$
$\qquad a_1 = -2$
$\qquad a_0 = -3$

Pour savoir si l'équation est résoluble par la méthode de Sotta, nous devons vérifier les conditions de résolubilité.

$\qquad 10a_5a_2^2-20a_5a_3a_1+a_3^3-4a_4a_3a_2+8a_4^2a_1=10*14*24^2+20*14*32*2+32^3-4*36*32*24-8*36^2*2=0$ $\qquad 8a_4a_1^2-20a_4a_2a_0+a_2^3-4a_3a_2a_1+10a_3^2a_0=-8*36*2^2+20*36*24*3-24^3-4*32*24*2-10*32^2*3=0$

La résolvante de Sotta est :

$\qquad 2X^2 + 3X - 2=0$

qui a pour racine :

$\qquad \frac{b}{d} = \frac{1}{2} et \frac{c}{e} = -2$

On peut choisir :

$\qquad b = 1, c = 2, d = 2, e = -1$

d'où :

$\qquad a = e^5a_4+5ce^4a_5 = 176$

$\qquad f = d^5a_4+5bd^4a_5 = -32$

L'une des racines de l'équation sera :

$\qquad x_1 = \frac{\sqrt[5]{176} - 2\sqrt[5]{-32}}{2\sqrt[5]{176} - (-1)\sqrt[5]{-32}} = \frac{\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

On obtient alors les cinq racines suivantes :

$\qquad x_1 = \frac{\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

$\qquad x_2 = \frac{e^{\frac{2i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2e^{\frac{2i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

$\qquad x_3 = \frac{e^{\frac{4i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2e^{\frac{4i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

$\qquad x_4 = \frac{e^{\frac{6i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2e^{\frac{6i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

$\qquad x_5 = \frac{e^{\frac{8i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2e^{\frac{8i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

[modifier] Equations dont l'équation résolvante admet une racine double

Soit

$\qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$

Une équation à résoudre satisfaisant les conditions de résolubilité et dont l'équation résolvante admet une racine double α.

α est alors racine multiple d'ordre n-1 de l'équation à résoudre et la racine simple β manquante est obtenue par la relation :

$\beta = (-1)^n \frac{a_0}{a_n.\alpha^{n-1}}$

Plus précisément, l'équation à résoudre peut alors s'écrire :

$(X - \alpha)^{n-1}(a_nX - (-1)^n\frac{a_0}{\alpha^{n-1}}) = 0 ~$

Remarque : Les racines α et β ne sont pas égales sinon tous les coefficients de l'équation résolvante seraient nul.

[modifier] Autres méthodes de résolution d'équations

v · d · m Méthodes de résolution d'équations
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Recherche d'un zéro	Méthode de dichotomie · Méthode de Newton · Méthode de la sécante · Méthode de Müller · Méthode de Brent · Méthode de la fausse position · Méthode de Héron · Méthode de Laguerre · Méthode du cercle de séparation · Méthode de Halley · Méthode de Householder