Méthode de Brent

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La méthode de Brent est une combinaison de la méthode de dichotomie, de la méthode de la sécante et de l’interpolation quadratique inverse. À chaque itération, la méthode de Brent décide de laquelle de ces trois méthodes, est susceptible d’approcher au mieux le zéro, et effectue une étape en utilisant cette méthode. Cela donne une méthode robuste et rapide, très populaire et très appréciée.

[modifier] La méthode

Cela nécessite de connaître trois valeurs de la fonction f dont la racine est à déterminer. Soit $(a; f (a))$ , $(b; f (b))$ , et $(c; f (c))$ la formule d'interpolation est donnée par :

$x = \frac{(y - f(a))(y - f(b))c} {(f(c) - f(a))(f(c) - f(b))} + \frac{(y - f(b))(y - f(c))a} {(f(a) - f(b))(f(a) - f(c))} + \frac{(y - f(c))(y - f(a))b} {(f(b) - f(c))(f(b) - f(a))}$

En choisissant $y = 0$ , on peut réécrire l'équation comme $x = b +\frac{P}{Q}$ où $P$ et $Q$ sont donnés par $P = S [T (R - T)(c - b) - (1 - R)(b - a)]$ et $Q = (T - 1)(R - 1)(S - 1)$ où $R$ , $S$ et $T$ s'expriment comme $R =\frac{f(b)}{f(c)} S =\frac{f(b)}{f(a)} T =\frac{f(a)}{f(c)}$ .

En pratique, $b$ est une première estimation de la racine et $\frac{P}{Q}$ une petite correction. Quand $Q \rightarrow 0$ la valeur de $\frac{P}{Q}$ peut devenir très grande et l'itération par la méthode de Brent est remplacée par une itération de dichotomie.

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