Identité d'Euler

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Article d'une série sur
La constante mathématique e

Applications : Intérêts composés · Identité d'Euler et Formule d'Euler · Demi-vie et Croissance exponentielle/Décroissance exponentielle

Définitions : Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème de Lindemann-Weierstrass

Personnes : John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

Conjecture de Schanuel

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation mathématiques, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler.

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

où $\ e$ est la base du logarithme népérien, $\ i$ est l'unité des imaginaires purs (vérifiant $\ i^2=-1$ ) et $\ \pi$ est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre).

L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748.

Dans la préface de l'un de ses cahiers, alors qu'il avait presque quinze ans, Richard Feynman, qualifia cette identité de « formule la plus remarquable au monde ».

Feynman a trouvé cette formule remarquable parce qu'elle lie des constantes mathématiques fondamentales :

Les nombres $\ 0$ et $\ 1$ sont respectivement les éléments neutres pour l'addition et la multiplication.
Le nombre $\ \pi$ est une constante relative à notre monde euclidien, au moins sur de petites échelles (sinon le rapport de la longueur de la circonférence du cercle à son diamètre n'est pas une constante universelle, c'est-à-dire la même pour toutes les circonférences).
Le nombre $\ e$ est important dans la description des comportements de forte croissance, et apparaît dans la solution $\ y$ ( $\ y(x) = e^x$ ) de la plus simple équation différentielle de croissance : $d y / d x = y$ et $\ y(0)=1$ .
Enfin, le nombre imaginaire $\ i$ a été introduit pour que tous les polynômes non constants à coefficients réels admettent des racines (voir le théorème de d'Alembert).

La formule comporte également les opérations arithmétiques fondamentales d'addition, de multiplication et d'élévation à une puissance. Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe :

Pour tout nombre réel $\ x$ ,

$\ e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

(moyen mnémotechnique: cis(x) = cos(x)+i sin(x) )

Si nous posons $\ x = \pi$ , alors

$\ e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!$

et puisque $\ \cos(\pi) = -1$ et $\ \sin(\pi) = 0$ , nous obtenons

$\ e^{i \pi} = -1 \,\!$

et par conséquent,

$\ e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$

Justaposition de 16 triangles rectangles

Juxtaposition de 16 triangles rectangles

Juxtaposition de 8 triangles rectangles

L'interprétation géométrique est issue de $e^{i \pi} \simeq (1 + \frac{i\pi}{N})^N \simeq -1 \;$

à partir du germe suivant réitéré N fois

En effet, d'une part, $z\,\in\mathbb{C} \quad e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n$ et d'autre part les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées $\left(1 + \frac{i\pi}{N}\right)^N$ est obtenu en juxtaposant $N\,$ triangles rectangles comme indiqué sur la figure ci-contre.

Aussi belle et mystérieuse qu'est cette identité d'Euler, on comprend mieux géométriquement pourquoi, lorsque $N\,$ tend vers $\infty\,$ , le point d'affixe $e^{i \pi}\,$ est égal à $(-1,0)\,$