Formule d'Euler

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formule d'Euler $\mathrm e^{\mathrm i\varphi}=\cos\varphi+\mathrm i\sin\varphi$

Article d'une série sur
La constante mathématique e

Applications : Intérêts composés · Identité d'Euler et Formule d'Euler · Demi-vie et Croissance exponentielle/Décroissance exponentielle

Définitions : Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème de Lindemann-Weierstrass

Personnes : John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

Conjecture de Schanuel

La formule d'Euler, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler, s'écrit

pour tout nombre réel x, $e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

Ici, e est la base naturelle des logarithmes, i est le nombre imaginaire, sin et cos sont des fonctions trigonométriques.

Sommaire

1 Description
2 Démonstrations
- 2.1 Par les séries de Taylor
- 2.2 Par le calcul différentiel
3 Historique
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes
5 Références
- 5.1 Liens externes

[modifier] Description

Cette formule peut être interprétée en disant que la fonction $x\mapsto e^{ix}$ décrit le cercle unité dans le plan complexe lorsque x varie dans l'ensemble des nombres réels. $x$ représente la mesure de l'angle orienté que fait la demi-droite d'extrémité l'origine et passant par un point du cercle unité avec la demi-droite des réels positifs. La formule n'est valable que si sin et cos ont des arguments exprimés en radians plutôt qu'en degrés.

La démonstration est basée sur les développements en série de Taylor de la fonction exponentielle $z\mapsto e^z$ de la variable complexe z et des fonctions sin et cos considérées à variables réelles. En fait, la même démonstration montre que la formule d'Euler est encore valable pour tous les nombres complexes x.

La formule d'Euler fut démontrée pour la première fois (sous une forme un peu obscure) par Roger Cotes en 1714, démontrée à nouveau et rendue populaire par Euler en 1748. Il est intéressant de noter qu'aucun de ces deux hommes ne vit l'interprétation géométrique de cette formule : le point de vue géométrique des nombres complexes considérés comme affixes de points du plan n'apparut que quelques 50 années plus tard (voir Caspar Wessel).

La formule établit un puissant lien entre l'analyse et la trigonométrie. Elle est utilisée pour représenter les nombres complexes sous forme trigonométrique et permet la définition du logarithme pour les arguments complexes. En utilisant les propriétés de l'exponentielle

$e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}$

$(e^a)^b = e^{a b} \,$

(qui sont aussi valables pour tous les nombres complexes $a$ et $b$ ), il devient facile de dériver plusieurs identités trigonométriques ou d'en déduire la formule de Moivre. La formule d'Euler permet une interprétation des fonctions cosinus et sinus comme seules variations de la fonction exponentielle :

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

Ces formules (aussi appelées formules d' Euler) peuvent servir de définition des fonctions trigonométriques de variable complexe $x$ . Pour les obtenir, vous pouvez dériver la formule d'Euler :

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,$

$e^{-ix} = \cos x - i \sin x \,$

et déterminer cosinus ou sinus.

Dans les équations différentielles, la fonction $x\mapsto e^{ix}$ , est souvent utilisée pour simplifier les dérivations, même si le problème est de déterminer les solutions réelles exprimées à l'aide de sinus et cosinus. L'identité d'Euler est une conséquence immédiate de la formule d'Euler.

En électrotechnique et dans d' autres domaines, les signaux qui varient périodiquement en fonction du temps sont souvent décrits par des combinaisons linéaires des fonctions sinus et cosinus (voir analyse de Fourier), et ces dernières sont plus commodément exprimées comme parties réelles de fonctions exponentielles avec des exposants imaginaires, en utilisant la formule d'Euler.

[modifier] Démonstrations

[modifier] Par les séries de Taylor

Article détaillé : série de Taylor.

Le développement en série de la fonction exp de la variable réelle x peut s' écrire :

$e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

et s' étend à tout nombre complexe x .

Maintenant si nous injectons i dans l'exposant, nous obtenons :

$e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(ix)}^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} i^n$

Nous pouvons regrouper ses termes pour obtenir cette écriture dégénérée :

$e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} i^{\,4n} + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i^{\,4n+1} + \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} i^{\,4n+2} + \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i^{\,4n+3} \right)$

Pour simplifier cela, nous utilisons les propriétés de base suivantes de i :

$i^0 = 1, \qquad i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1, \ldots$

en généralisant à tout exposant entier, on a pour tout n :

$i^{\,4n} = 1, \qquad i^{\,4n+1} = i, \qquad i^{\,4n+2} = -1, \qquad i^{\,4n+3} = -i$

Ainsi,

$e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i \right)$

en réarrangeant les termes et en séparant la somme en deux (ce qui est possible puisque les deux séries sont absolument convergentes) :

$e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} \right) + i\,\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} \right)$

Pour avancer un peu plus, nous utilisons les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus:

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} \right)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} \right)$

Ce qui, en remplaçant dans les formules précédentes de e^ix, donne :

$e^{ix} = \cos x + i\; \sin x$

comme requis.

[modifier] Par le calcul différentiel

Article détaillé : calcul différentiel.

Définissons l'application $f \$ par

$f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}. \$

Cette application est bien définie puisque

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1 \$

implique que $e^{ix} \$ n'est jamais nul.

L'application $f \$ est le quotient de deux fonctions dérivables et donc est dérivable (dérivation d'un quotient) et sa dérivée est donnée par:

$f'(x)\,$	$= \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \$
	$= 0 \$

Ainsi, $f \$ est une fonction constante. D'où

$f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1$

$\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1$

$\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix}$

[modifier] Historique

La formule d'Euler fut démontrée pour la première fois par Roger Cotes en 1714 sous la forme ln(cos(x) + i sin(x)) = ix (où ln désigne le logarithme népérien, c'est-à-dire Log de base e)^[1]. Ce fut Euler qui publia la formule sous sa forme actuelle en 1748, en basant sa démonstration sur l'égalité entre deux séries. Aucun des deux mathématiciens ne donna une interprétation géométrique de la formule : l'interprétation des nombres complexes comme des points d'un plan ne fut vraiment évoquée que cinquante années plus tard (voir Caspar Wessel).