Théorème de Lindemann-Weierstrass

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Article d'une série sur
La constante mathématique e

Logarithme naturel

Applications : Intérêts composés · Identité d'Euler et Formule d'Euler · Demi-vie et Croissance exponentielle/Décroissance exponentielle

Définitions : Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème de Lindemann-Weierstrass

Personnes : John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

Conjecture de Schanuel

En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur les nombres rationnels, alors e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n}\, sont algébriquement indépendants sur les nombres algébriques ; en d'autres mots, l'ensemble {e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n}}\, possède le degré de transcendance n sur \Bbb{Q}. Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques distincts alors e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n} sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques, càd:

a_1e^{\alpha_1} + a_2e^{\alpha_2} ... + a_2e^{\alpha_2} est non nul

avec les ai algébriques

Le théorème fut nommé ainsi en l'honneur de Ferdinand von Lindemann, qui prouva le cas particulier de la transcendance de \pi\,, et Karl Weierstrass.

[modifier] Transcendance de e et π

La transcendance de e et celle de \pi\, sont des corollaires immédiats de ce théorème. Supposons que \alpha\, soit un nombre algébrique différent de zéro ; alors {\alpha\,} est un ensemble linéairement indépendant sur les nombres rationnels, et par conséquent {e^{\alpha}\,} possède un degré de transcendance un sur les nombres rationnels ; en d'autres termes e^{\alpha}\, est transcendant.

(ou encore
1-1=0
e^{\alpha - \alpha}\ - 1 = 0
eαe − α − 1 = 0
ce qui impose que eα doit etre transcendant
)

En utilisant l'autre formulation, nous pouvons argumenter que si {0, \alpha\,} est un ensemble de nombres algébriques distincts, alors l'ensemble {e^0, e^{\alpha}\,} = {1, e^{\alpha}\,} est linéairement indépendant sur les nombres algébriques, et ainsi e^{\alpha}\, est immédiatement vu comme étant transcendant. En particulier, e^1 = e\, est transcendant. Donc, si \beta = e^{i \alpha}\, est transcendant, alors sa partie réelle et sa partie imaginaire :

\cos(\alpha) = Re(\beta) = \frac{\beta + \beta^{-1}}{2}\, et
\sin(\alpha) = Im(\beta) = \frac{\beta - \beta^{-1}}{2i} le sont aussi.

( sinon on aura: 2cos(α)eiα − e2iα − 1 = 0 impossible et 2isin(α)eiα − e2iα + 1 = 0 impossible )


Par conséquent, si \pi\, était algébrique, \cos(\pi) = - 1\, et \sin(\pi) = 0\, seraient transcendants, ce qui prouve par l'absurde que \pi\, n'est pas algébrique, autrement dit qu'il est transcendant.

[modifier] Conjecture p-adique

La conjecture p-adique de Lindemann-Weierstrass affirme que ce résultat est vrai pour les nombres p-adique : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont un ensemble de nombres algébriques linéairement indépendants sur les nombres rationnels tels que | αi | p < 1 / p pour un certain nombre premier p, alors les exponentielles p-adiques e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n} sont transcendantes algébriquement indépendantes.