Pseudovecteur

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En physique et en mathématiques, un pseudovecteur ou vecteur axial est un objet mathématique qui se comporte de même manière qu'un vecteur pour une rotation directe (conservant les angles orientés), mais qui change de sens lors d'une isométrie indirecte comme par exemple en dimension 3 une inversion de tous les axes ou une symétrie par rapport à un plan.

Ce changement de sens se traduit dans une base orthonormale par un changement de signe des coordonnées du pseudovecteur. On parle de pseudovecteurs en opposition aux vecteurs dits vrais ou polaires, qui sont invariants par une telle inversion.

Les règles de calcul sont différentes de celles des vecteurs vrais.

Lorsqu'on ne fait pas la distinction, on aboutit à des absurdités mathématiques, notamment quand on fait une symétrie, ou quand on veut utiliser une base non orthonormée. Cet article traite des pseudovecteurs construits par produit vectoriel, omniprésents en physique. D'autres types de pseudovecteurs sont théoriquement distinguables en fonction de leur manière de réagir à un changement de base.

[modifier] Généralités

On rencontre fréquemment des pseudovecteurs construits à partir d'un produit vectoriel.

Si $a$ et $b$ sont deux vecteurs vrais, le vecteur $p$ tel que

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$

est un pseudovecteur : si on transforme tous les axes en leurs opposés, les vecteurs sont transformés en leurs opposés. $a$ est donc remplacé par $- a$ et $b$ par $- b$ . Si $p$ était un vecteur, son image par cette transformation devrait être $- p$ , or, en utilisant la formule de calcul du produit vectoriel, on s'aperçoit que $p$ est invariant par une telle transformation : $p$ n'obéit donc pas à toutes les règles de calcul des vecteurs ; on dit que $p$ est un pseudovecteur.

Ce concept peut être généralisé : on parlera de pseudoscalaires et de pseudotenseurs pour des quantités qui ne respectent pas toutes les règles de calcul des scalaires et des tenseurs.

L'opérateur rotationnel, produit vectoriel avec l'opérateur nabla, construit également des pseudovecteurs.

La notion de pseudovecteur est particulièrement importante dans l'analyse des propriétés de symétrie des champs de vecteurs. Ainsi, si le champ électrique $\overrightarrow{E}$ (vecteur vrai) possède les mêmes symétries que ses sources (un plan de symétrie des charges est plan de symétrie de $\overrightarrow{E}$ ), le champ magnétique $\overrightarrow{B}$ inverse ces propriétés (un plan de symétrie des courants est plan d'antisymétrie de $\overrightarrow{B}$ ).

Un pseudovecteur est un tenseur d'ordre 2 antisymétrique et possède trois composantes dans un espace à trois dimensions.

[modifier] Types

Il existe trois types de pseudovecteurs construits par produit vectoriel :

les produits vectoriels de deux vecteurs, qui sont deux fois contravariant
les produits vectoriels d'un vecteur et d'un covecteur, qui sont 1 fois covariant, 1 fois contravariant
les produits vectoriels de deux covecteurs, qui sont deux fois covariant.

Le terme contravariant ou covariant fait référence à la manière dont réagissent les coordonnées du vecteur ou du covecteur lors d'un changment de base. Par exemple les coordonnées d'un vecteur évoluent inversement aux vecteurs de base. Les vecteurs sont donc dit contravariant. Les covecteurs, eux, sont covariant par rapport à la base des vecteurs. Cela pour assurer que le produit scalaire d'un vecteur et d'un covecteur soit bien scalaire, c'est à dire indépendant de la base des vecteurs.

Les pseudovecteurs des trois types appartiennent à des espaces vectoriels différents et l'addition de pseudovecteurs de types différents n'est donc pas permise.

[modifier] Signification

Les pseudovecteurs peuvent être utilisés pour représenter

des angles dans un plan de l'espace (pseudovecteurs 1-fois covariant 1-fois contravariant : c'est à dire ceux dont la norme est un scalaire vrai, comme les angles). Intuitivement, ces pseudovecteurs correspondent à une notion de rotation.

des élément de surfaces orientées dans l'espace (pseudovecteurs 2-fois contravariant : leur norme est un scalaire doublement contravariant, comme les aires)

une répartition surfacique en un point de l'espace. (pseudovecteurs 2-fois covariant, équivalents à des formes bilinéaires alternées)

L'idée qui relie les trois significations est celle de plan, de surface plane.

[modifier] Exemples physiques

Exemples de pseudovecteurs en physique :

Le moment angulaire ;
Le champ magnétique en électromagnétisme ;
Le rotationnel d'un champ de vecteurs ;
La vitesse angulaire.

Ces trois pseudovecteurs sont 1 fois covariant, 1 fois contravariant. Leur norme est donc invariante par homothétie de la base, ce n'est pas le cas pour la norme des vecteurs.

Le produit vectoriel du pseudovecteur vitesse angulaire et du vecteur rayon jusqu'au centre de rotation donne la vitesse du point considéré : c'est la formule de Varignon.

Le produit vectoriel du pseudovecteur accélération angulaire et du rayon vecteur donne l'accélération du point considéré.

[modifier] Règles de calcul

On portera attention au fait que si les calculs sont effectués en base orthonormée, il peut y avoir confusion entre vecteur/covecteur/pseudovecteur. Ces règles de calcul peuvent servir à lever les ambiguïtés et pouvoir alors changer de base.

[modifier] Produit vectoriel

Si $\overrightarrow{a}$ est un vecteur vrai et $\overrightarrow{b}$ un vecteur vrai, le vecteur $\overrightarrow{p}$ tel que $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ est un pseudovecteur.

Si $\overrightarrow{a}$ est un vecteur vrai et $\overrightarrow{b}$ un pseudovecteur, le vecteur $\overrightarrow{p}$ tel que $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ est un vecteur vrai.

Si $\overrightarrow{a}$ est un pseudovecteur et $\overrightarrow{b}$ un vecteur vrai, le vecteur $\overrightarrow{p}$ tel que $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ est un vecteur vrai.

Si $\overrightarrow{a}$ est un pseudovecteur et $\overrightarrow{b}$ un pseudovecteur, le vecteur $\overrightarrow{p}$ tel que $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ est un pseudovecteur.

[modifier] Addition

L'addition ou la soustraction de deux pseudovecteurs est un pseudovecteur ;
L'opposé d'un pseudovecteur est un pseudovecteur ;
On n'additionne pas un pseudovecteur avec un vecteur ou un covecteur.
On n'additionne pas des pseudovecteurs de types différents.

[modifier] Multiplication par un scalaire vrai

La multiplication d'un pseudovecteur par un scalaire vrai est un pseudovecteur de même type;
La multiplication d'un vecteur vrai par un scalaire est un vecteur vrai.
Par scalaire vrai, il faut comprendre un nombre totalement indépendant de la base des vecteurs. Dans ce cas là, on ne peut pas considérer le travail d'une force ou énergie par exemple comme un scalaire, puisque cette grandeur est doublement contravariante.

[modifier] Produit scalaire

Le produit scalaire d'un vecteur vrai et d'un covecteur est un scalaire vrai

Le produit scalaire d'un pseudovecteur doublement contravariant et d'un pseudovecteur doublement covariant est un scalaire vrai.

Le produit scalaire de deux vecteurs vrais, qui sont donc tous les deux contravariants, leur norme variant en sens contraire des vecteurs de base, est doublement contravariant. Ce n'est donc pas à proprement parler un scalaire. L'énergie est une grandeur physique de ce type, puisqu'elle est définie comme produit scalaire d'une force et d'un déplacement, tous deux vecteurs vrais.

[modifier] Norme

La norme d'un pseudovecteur est

strictement scalaire si le pseudovecteur est du type (1,1) (1 fois contravariant, 1 fois covariant). Elle se calcule alors par la formule $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ où a,b et c sont les coordonnées du pseudovecteur dans la base orthonormale.
un nombre doublement contravariant si le pseudovecteur est de type (2,0)
un nombre doublement covariant si le pseudovecteur est du type (0,2).

[modifier] Changement de base

Les pseudovecteurs obéissent à des formules de changement de base différentes de celle des vecteurs vrais.

Les bases des pseudovecteurs des trois types sont également différentes de la base duale (celle des covecteurs).

Les bases des pseudovecteurs sont différentes de celle des vecteurs vrais : en base orthonormée, cela se traduit par des changements de signe ; en base quelconque par des changements de toutes les coordonnées entre un vecteur et le pseudovecteur de même direction. Si on écrit pseudovecteurs et vecteurs vrais dans ce qui semble être une même base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ , il faudra de nouveau distinguer les bases lors d'opérations comme la symétrie plane. Et distinguer entre elles les bases des trois types de pseudovecteurs.

[modifier] Produit mixte

Le produit mixte est défini par $\mathrm{Det} \bigl(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\bigr) = \bigl(\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}\bigr)\cdot\overrightarrow{c}$ .

Si $\overrightarrow{a}$ est un pseudovecteur et $\overrightarrow{b}$ et $\overrightarrow{c}$ des vecteurs vrais, le résultat est un scalaire vrai. Dans les autres cas, se référer à la définition du produit mixte.

Le produit mixte de trois vecteurs vrais est trois fois contravariant, comme les volumes. Il est cependant transformé en son opposé par une transformation qui transforme tous les axes en leurs opposés. Cette propriété n'est pas partagée par les volumes.

[modifier] Torseurs

La résultante d'un torseur est un vecteur vrai dans le cas d'un torseur cinétique, dynamique ou statique.
La résultante d'un torseur est un pseudovecteur dans le cas d'un torseur cinématique.
Le moment d'un torseur est un pseudovecteur dans le cas d'un torseur cinétique, dynamique ou statique.
Le moment d'un torseur est un vecteur vrai dans le cas d'un torseur cinématique.

[modifier] Rotationnel et Divergence

[modifier] Rotationnel

Le rotationnel d'un champ de vrais vecteurs est un pseudovecteur. Ce pseudovecteur est du type 1 fois covariant, 1 fois contravariant.

En revanche, pour un champ de pseudovecteurs, il existe une contradiction entre deux approches.

Si on garde les mêmes formules que pour les vecteurs (alors qu'on travaille dans une autre base!), le rotationnel est un vrai vecteur. C'est la définition la plus courante. exemple d'une des équations de Maxwell : $\overrightarrow{\mathrm{rot}} \overrightarrow{B} = \mu_0 \left(\overrightarrow{j} + \overrightarrow{j_D}\right)$

$B$ est un pseudovecteur et $j$ un vecteur vrai.

Par contre, cette définition n'est pas cohérente avec la définition du rotationnel donnée pour les tenseurs.

En suivant la deuxième approche, les pseudovecteurs se comportant dans tous les cas comme des tenseurs du second ordre antisymétrique, on les analyse comme tels. Et alors on utilise la définition du rotationnel donnée pour les tenseurs du second ordre. Il apparaît alors quelque chose d'extraordinaire : le rotationnel d'un champ de pseudovecteurs calculé suivant cette définition a la même formule dans la base canonique des pseudovecteurs, que la divergence pour les champs de vecteurs vrais dans la base canonique des vecteurs vrais. C'est à dire que l'appellation usuelle de l'opérateur rotationnel pour les champs de pseudovecteurs est la divergence. Et ceci est toujours nul.

[modifier] Divergence

La divergence d'un champ de vrais vecteurs est un scalaire.

En revanche, pour un champ de pseudovecteurs :

Si on garde les mêmes formules que pour les vecteurs (alors que l'on travaille dans une autre base !), alors la divergence d'un champ de pseudovecteurs est toujours nulle.

C'est la définition la plus courante. Mais cette définition n'est pas cohérente avec la définition de la divergence donnée pour les tenseurs.

Si on reprend la définition de la divergence utilisée pour les tenseurs du second ordre, approche qui paraît la plus cohérente, sa formule de calcul dans la base canonique des pseudovecteurs est identique à la formule du rotationnel pour les champs de vecteurs vrais dans la base canonique des vecteurs vrais. C'est à dire que l'appellation usuelle de l'opérateur divergence pour les champs de pseudovecteurs est le rotationnel. Et ce rotationnel-ci est un vecteur vrai.

[modifier] Synthèse

Ce que l'on appelle communément rotationnel, a effectivement pour les vecteurs vrais la signification de rotationnel : les pseudovecteurs représente bien des rotations. Mais ceci a pour les pseudovecteurs la signication physique d'une divergence. Et pour les tenseurs du second ordre celle-ci est un vecteur.
Ce que l'on appelle communément divergence est toujours nul pour les pseudovecteurs.

[modifier] Représentation matricielle

Un pseudovecteur peut être représenté par un tenseur antisymétrique d'ordre 2 avec 3 possibilités : soit le tenseur est 2 fois contravariant, soit 1 fois contravariant-1 fois covariant, soit 2 fois covariant ; seul le 2^e cas correspond à une matrice usuelle.

Dans ce cas, en base orthonormale, la matrice :

$\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\\ \end{pmatrix}$

correspond au pseudovecteur usuellement représenté par :

$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ .

On peut aussi représenter les deux autres types de pseudovecteurs sous forme matricielle, mais il faut garder à l'esprit qu'eux réagissent aux changement de base comme des formes bilinéaires ou des aires.

Cette représentation par matrice carrée est particulièrement adaptée car

le produit vectoriel avec un vecteur vrai se traduit par une simple multiplication matricielle (attention cependant au signe, et à l'ordre des facteurs) ;
le produit vectoriel avec un autre pseudovecteur se traduit par le crochet de Lie des deux matrices. [A, B] = AB - BA ; il est nul si et seulement si les deux matrices commutent.
Les changements de base sont identiques aux changements de base des tenseurs d'ordre 2, voire à ceux des matrices quand il s'agit d'un tenseur 1 fois contravariant-1 fois covariant ;
elle permet de voir facilement qu'un pseudovecteur correspond à une une matrice de rotation d'un quart de tour dans un plan suivie ou précédée d'une projection sur ce plan ;
en dimension 2, le produit vectoriel des deux vecteurs de base du plan correspond à une matrice antisymétrique :

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

Avec cette matrice, on peut représenter les nombres complexes. Le produit matriciel de cette matrice avec elle-même donne en effet l'opposé de la matrice identité. Et elle permet aussi par combinaison linéaire, de représenter les similitudes planes directes.

[modifier] Exponentielle

L'exponentielle de la matrice qui représente des pseudovecteurs (1,1) en dimension 3 est une matrice de rotation d'angle $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ , dont la direction est donnée par le pseudovecteur.

[modifier] Généralisation : Tenseurs

Les notions de variance/covariance sont issues du formalisme des tenseurs.

Ce formalisme permet d'étendre les notions de vecteur, covecteur et pseudovecteurs à des espaces de dimension plus grande que 3.

[modifier] Notation

A l'écrit, on peut distinguer pseudo- et vrais vecteurs en incurvant la flèche du vecteur.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Liens externes

Pseudovecteurs et vecteurs vrais

Articles d'algèbre linéaire générale
vecteur • scalaire • combinaison linéaire • espace vectoriel
famille de vecteurs		sous-espace
colinéarité • indépendance linéaire famille libre ou liée • rang famille génératrice • base théorème de la base incomplète		somme • somme directe supplémentaire dimension • codimension droite • plan • hyperplan
morphismes et notions relatives
application linéaire • noyau • conoyau • lemme des noyaux pseudo-inverse• théorème de factorisation • théorème du rang équation linéaire • système • élimination de Gauss-Jordan forme linéaire • espace dual • orthogonalité • base duale endomorphisme • valeur, vecteur, espace propres • spectre projecteur • symétrie • diagonalisable • nilpotent
en dimension finie
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matrice
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