Algèbre multilinéaire
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En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels, l’algèbre multilinéaire est bâtie sur le concept d’un tenseur et développe la théorie des espaces tensoriels. Dans les applications, de nombreux types de tenseurs surviennent. La théorie se veut exhaustive et comprend un certain nombre d'espaces et l'exposé de leurs relations.
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[modifier] Historique de l’approche vers l’algèbre multilinéaire
Le sujet lui-même a des racines variées allant jusqu’aux mathématiques du XIXe siècle, dans ce qui fut appelé l’analyse tensorielle ou le « calcul tensoriel des champs tensoriels ». Il s’est développé à partir de l’utilisation des tenseurs dans la géométrie différentielle, la relativité générale et dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées. Vers le milieu du XXe siècle, l’étude des tenseurs fut reformulée plus abstraitement. Le traité du groupe Bourbaki, l’Algèbre multilinéaire, fut particulièrement influent — en fait le terme algèbre multilinéaire a probablement été inventé là.
Une des raisons d’alors était une nouvelle aire d’application, l’algèbre homologique. Le développement de la topologie algébrique durant les années 40 donna de l’incitation additionnelle au développement d’un traitement purement algébrique du produit tensoriel. Le calcul des groupes homologiques du produit des deux espaces implique le produit tensoriel ; mais c'est seulement dans les cas les plus simples, tel qu’en un tore, qu'il est calculé directement de cette façon (voir théorème de Künneth). Les phénomènes topologiques étaient assez subtils pour avoir besoin de meilleurs concepts fondamentaux.
Le matériel à organiser était dense, incluant des idées allant jusqu’à Hermann Günther Grassmann, les idées venant de la théorie des formes différentielles qui avaient mené à la cohomologie de De Rham, ainsi qu’à des idées plus élémentaires telles que le produit extérieur qui généralise le produit vectoriel.
La description qui en résulta, plutôt sévère (par Bourbaki), rejeta entièrement l'approche vectorielle (l’itinéraire de quaternion, c’est-à-dire, dans le cas général, la relation aux groupes de Lie). Ils utilisèrent au lieu de cela une approche nouvelle en utilisant la théorie des catégories, avec l’approche du groupe de Lie étant vue comme une matière distincte. Puisque cela mène à un traitement beaucoup plus propre, il n’y aura probablement plus de retours en arrière en termes mathématiques. (Strictement, l’approche de la propriété universelle fut invoquée; ceci est un peu plus général que la théorie des catégories, et la relation entre les deux moyens alternatifs peut aussi être clarifiée, en même temps.)
En effet, ce qui a été fait est presque précisément pour expliquer que les espaces tensoriels sont les constructions requises dans le but de réduire les problèmes multilinéaires à des problèmes linéaires. Cette attaque purement algébrique ne transfère aucune intuition géométrique.
Son bienfait est qu’en réexprimant des problèmes en termes d’algèbre multilinéaire, il y a une 'meilleure solution' claire et bien définie : les contraintes que la solution exerce sont exactement ceux dont vous avez besoin en pratique. En général il n’y a pas de besoin d’invoquer une quelconque construction ad hoc, idée géométrique ou recours pour coordonner des systèmes. Dans le jargon catégoriel-théorique, tout est entièrement naturel.
[modifier] Conclusion sur l’approche abstraite
En principe l’approche abstraite peut recouvrir tout ce qui est fait via l’approche traditionnelle. En pratique cela peut ne pas sembler si simple. D’autre part la notion de naturel est compatible avec le principe de la covariance générale de la relativité générale. Ce dernier fait affaire aux champs tensoriels (les tenseurs variant de point en point sur une variété, mais la covariance affirme que le langage des tenseurs est essentiel à la formulation propre de la relativité générale.
Quelques décennies plus tard le point de vue plutôt abstrait venant de la théorie des catégories fut noué avec l’approche qui avait été développée dans les années 1930 par Hermann Weyl (dans son livre célébré et difficile Les groupes classiques). D’une façon cela amena la théorie à pleins bords, reliant une fois encore le contenu des points de vue anciens et nouveaux.
[modifier] Contenu de l’algèbre multilinéaire
Le contenu de l’algèbre multilinéaire a changé bien moins que la présentation, à travers les ans. Voici d’autres pages qui y sont centralement pertinentes :
- Espace dual
- Opérateur bilinéaire
- Produit intérieur
- Application multilinéaire
- Déterminant
- Règle de Cramer
- Delta de Kronecker
- Contraction tensorielle
- Tenseur mixte
- Symbole de Levi-Civita
- Algèbre tensorielle
- Algèbre symétrique
- Produit extérieur, Puissance extérieure
- Algèbre de Grassmann
- Dérivée extérieure
- Notation d'Einstein
- Tenseur symétrique
- Tenseur métrique
[modifier] Du point de vue des applications
Consultez ces articles pour certains moyens dans lesquels les concepts de l’algèbre multilinéaire sont appliqués, dans diverses guises :
- Tenseur dyadique
- Notation bra-ket
- Algèbre géométrique
- Algèbre de Clifford
- Pseudoscalaire
- Pseudovecteur
- Spineur
- Produit extérieur
- Nombre hypercomplexe
- Courbure
