Famille génératrice

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En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace.

[modifier] Définition

Une famille $F = ( f_1 , f_2 , \ldots, f_n )$ d'éléments d'un K-espace vectoriel E est dite génératrice de E si et seulement si :

$\forall x \in E,\ \exists ( \lambda_1 , \lambda _2 , \ldots , \lambda_n ) \in K^n,\ x = \sum_{k=1}^n \lambda_k f_k$ .

On note alors $E = \mathrm{Vect}( f_1 , f_2 , \ldots , f_n )$ .

En bref, une famille (v1,...,vn) est génératrice de E si tous les vecteurs v de l'espace E s'expriment comme combinaisons linéaires des vecteurs v1,...,vn.

Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de E.

[modifier] Voir aussi

Articles d'algèbre linéaire générale
vecteur • scalaire • combinaison linéaire • espace vectoriel
famille de vecteurs		sous-espace
colinéarité • indépendance linéaire famille libre ou liée • rang famille génératrice • base théorème de la base incomplète		somme • somme directe supplémentaire dimension • codimension droite • plan • hyperplan
morphismes et notions relatives
application linéaire • noyau • conoyau • lemme des noyaux pseudo-inverse• théorème de factorisation • théorème du rang équation linéaire • système • élimination de Gauss-Jordan forme linéaire • espace dual • orthogonalité • base duale endomorphisme • valeur, vecteur, espace propres • spectre projecteur • symétrie • diagonalisable • nilpotent
en dimension finie
trace • déterminant • polynôme caractéristique polynôme d'endomorphisme • théorème de Cayley-Hamilton polynôme minimal • invariants de similitude réduction • réduction de Jordan • décomposition de Dunford
matrice
enrichissements de structure
norme • produit scalaire • forme quadratique • topologie orientation • multiplication • crochet de Lie • différentielle
développements
théorie des matrices • théorie des représentations analyse fonctionnelle • algèbre multilinéaire module sur un anneau