Pseudo-démonstration d'égalité entre nombres

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Le terme Pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses. Étant donné que toute proposition fausse est équivalente à une autre proposition fausse, n'importe quel résultat faux est équivalent à $x \ne y \Rightarrow x = y$ (un exemple célèbre est celui de Bertrand Russell avec l'égalité 2 + 2 = 5).

Nous nous contenterons ici de regarder le cas d'égalités entre nombres, et nous détaillerons différents vices parmi les plus répandus qui conduisent à ces erreurs. Les méthodes proposées dans cet article se veulent en outre les méthodes les plus courantes, les plus instructives, et dans la mesure du possible, les plus directes.

Sommaire

1 Pseudo-démonstration via des identités remarquables et division par zéro
- 1.1 Principe
- 1.2 Exemple
2 Pseudo-démonstration via des équations et confusion condition nécessaire et suffisante
- 2.1 Principe
- 2.2 Exemple
3 Pseudo-démonstration via des racines carrées non définies
- 3.1 Principe
- 3.2 Exemples
4 Pseudo-démonstration via une sommation floue
- 4.1 Principe
- 4.2 Variantes
5 Pseudo-démonstration via un changement de variable non licite lors d'une intégration
- 5.1 Principe
- 5.2 Exemple
6 Voir aussi

[modifier] Pseudo-démonstration via des identités remarquables et division par zéro

[modifier] Principe

Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur suivante : $0 \cdot a = 0 \cdot b \Rightarrow a = b$

Elle s'effectue généralement en deux étapes :

former via une identité remarquable un produit dans les deux membres d'une égalité dont l'un des facteurs est nul ;
via une division par zéro obtenir un résultat absurde.

À noter que suivant l'identité remarquable utilisée et la manière dont on s'y prend, on peut obtenir n'importe quelle égalité fausse.

[modifier] Exemple

Exemple

Étape 1:

Soit a et b deux réels non nuls, on pose $a = b ~$
On multiplie chaque membre par $a$ $a^2=a \times b$
On soustrait $b 2$ $a^2-b^2 =a \times b - b^2$
On factorise chaque membre ( dans le premier on utilise une identité remarquable) $(a-b) \times (a+b) = b \times (a-b)$

Étape 2:

On divise par $(a - b)$ $a+b = b ~$
Comme $a = b$ , on remplace $a$ par $b$ $b + b = b ~$
Soit $2 \times b = 1 \times b$
On divise par $b$ $2 = 1 ~$

L'erreur est commise au moment ou l'on effectue la division par $(a - b)$ , car comme $a = b$ alors $a - b = 0$ donc on divise par 0 ce qui est interdit.

Variante sans identité remarquable

On commence avec la proposition suivante : $2 = 1 + 1$
On multiplie chaque membre par $(2 - 1)$ : $2(2 - 1) = (1 + 1)(2 - 1)$
On développe : $2 \times 2-2 \times 1=2 \times 1+2 \times 1-1 \times 1-1 \times 1$
On soustrait $2 \times 1$ à chaque membre : $2 \times 2-2 \times 1-2 \times 1=2 \times 1-1 \times 1-1 \times 1$
On factorise : $2 \times (2-1-1)=1 \times (2-1-1)$
On peut simplifier et on obtient : $2 = 1$
Il suffit d'ajouter $1$ pour finalement avoir : $3 = 1 + 1$

[modifier] Pseudo-démonstration via des équations et confusion condition nécessaire et suffisante

[modifier] Principe

Une autre pseudo-démonstration courante est de restreindre l'ensemble des solutions possibles d'une équation puis d'affirmer qu'un des éléments de l'ensemble est racine. Cela revient à faire l'erreur de logique suivante : $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \Leftarrow B)$ .

Elle se déroule ainsi :

étude de l'équation (restriction de l'ensemble des solutions possibles à un faible nombre, une ou deux) ;
affirmation de l'ensemble des solutions possibles comme ensemble des solutions ;
test de l'une des supposés racines et résultat absurde.

[modifier] Exemple

Exemple

Étape 1 :

Considérons l'équation :

x 2 + x + 1 = 0

Ses solutions sont également celles (à l'exception de zéro) de :

$x(x^2+x+1) = 0 \Leftrightarrow x^3+x^2+x = 0 \Leftrightarrow x^3 = -x^2-x$

Or d'après l'équation initiale :

$x^2+x+1 = 0 \Leftrightarrow x^2 = -x-1$

Donc :

x 3 = - ( - x - 1) - x = 1

Étape 2 : La seule racine réelle possible est 1.

Étape 3 : En remplaçant x par 1 dans l'équation initiale, on obtient l'égalité $3 = 0$ .

[modifier] Pseudo-démonstration via des racines carrées non définies

[modifier] Principe

Il s'agit ici de l'erreur courante $x^2 = a^2 \Rightarrow x = a$ , l'implication correcte étant $x^2 = a^2 \Rightarrow |x| = |a|$ .

Deux étapes :

écrire une égalité vraie entre carrés ;
appliquer l'implication fausse en écrivant l'égalité sans les carrés (en invoquant une fonction racine non définie, par exemple dans $\Complex$ ).

On peut généraliser ce principe aux exponentielles complexes en invoquant une fonction logarithme non définie dans l'ensemble de travail, par exemple $\Complex$ . Les racines carrées s'écrivent $\sqrt{z} = \pm\sqrt{|z|}\exp\left(i\tfrac{\arg z}2\right)$ dans ce dernier ensemble.

[modifier] Exemples

Exemple

Étape 1 :

Considérons l'égalité $- 1 = - 1$ , qui peut s'écrire sous forme de quotients :

$\frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}$

Or $- 1 = i 2$ (voir nombre imaginaire), d'où

$\frac{1}{i^2} = \frac{i^2}{1}$

Étape 2 :

On prend la racine carrée des deux côtés ce qui donne :

$\sqrt{\frac{1}{i^2}} = \sqrt{\frac{i^2}{1}} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{i^2}} = \frac{\sqrt{i^2}}{\sqrt{1}} \Leftrightarrow \frac{1}{i} = \frac{i}{1}$

En multipliant par i de part et d'autre, on obtient

1 = i 2

Et puisque $i 2 = - 1$ , nous avons alors

1 = - 1

Exemple annexe (via un logarithme)

ln( - 1) + ln( - 1) = ln(( - 1) 2) = ln(1) = 0

Ainsi,

$\ln(-1)=\ln(i^2)=2\cdot\ln(i)=0 \Rightarrow e^{\ln(i)}=e^0(=1)$

Et comme l'exponentielle est l'application réciproque du logarithme népérien :

i = 1

[modifier] Pseudo-démonstration via une sommation floue

[modifier] Principe

En écrivant une somme de manière floue, c’est-à-dire non pas de manière formelle :

$S = \sum_{k=1}^n k$

mais avec des points de suspensions :

$S = 1 + \ldots + n$

la variable muette de sommation (notée ici $k$ ) est véritablement passée sous silence et le manque de formalisme des points de suspensions sert à masquer l'erreur.

Méthodologie :

faire des calculs sur une somme ;
générer une erreur via l'ensemble de définition de la variable muette, autrement dit le nombre de termes ;
aboutissement à un résultat absurde.

[modifier] Variantes

Variante via dérivation

La dérivation va s'effectuer différemment suivant le membre de l'égalité, à gauche il sera question d'une dérivation correcte, et à droite une dérivation sans tenir compte que la variable x est aussi le cardinal de l'ensemble des termes.

Étape 1 : Soit $x$ un entier. Par définition de la fonction carrée :

$x^2 = x + \cdots + x$ (

x

termes)

Étape 2 : En dérivant par rapport à $x$ :

$2x = 1 + \cdots + 1$ (

x

termes),

Étape 3 : d'où en simplifiant par $x$ :

2 = 1

Variante via une suite arithmétique

Cette variante joue sur le nombre de termes de la somme des termes d'une suite arithmétique (ici la suite des $n$ premiers entiers).

Étape 1 :

La somme des termes des n premiers entiers s'écrit :

$\forall n \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Cela est vrai également au rang $n - 1$ :

$\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = \frac{n(n-1)}{2}$

D'où en ajoutant 1 dans chacun des membres :

$\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 + 1 = \frac{n(n-1)}{2} + 1$

Étape 2 :

Cette égalité peut aussi s'écrire :

$\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{n(n-1) + 2}{2}$

D'après l'égalité au rang n, on a donc :

$\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, \left[ \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1) + 2}{2} \Leftrightarrow n(n+1) = n(n-1) + 2 \right]$

D'où :

$\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, \left[ n^2 + n = n^2 - n + 2 \Leftrightarrow 2n = 2 \right]$

Étape 3 :

Finalement :

$\forall n \in \mathbb{N}, n \ne 0, n = 1$

L'erreur vient du fait que l'on compare les sommes $\sum_{k=1}^n k$ et $\sum_{k=1}^{n-2} k + n$ .

[modifier] Pseudo-démonstration via un changement de variable non licite lors d'une intégration

[modifier] Principe

Lorsque l'on effectue un changement de variable lors d'une intégration sur un segment, il faut que le changement de variable soit un $C 1$ -difféomorphisme. Si le changement de variable est effectué trop hâtivement, il n'est pas rare de trouver un résultat absurde en fin d'intégration.

Démarche :