Racine de nombre complexe
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On définit comme racine carrée d'un complexe tout nombre tel que :
[modifier] Racines carrées d'un nombre complexe
Cette notion n'est à surtout pas confondre avec la racine carrée dans qui est unique. Pour cela on déconseille la forme (car il n'y a pas, a priori, de relation d'ordre pour les nombres complexes).
On définit donc comme racine carrée d'un complexe tout nombre tel que :
- Z2 = z.
[modifier] Racines n-ième d'un complexe
La notion de racine n-ième est définie de manière analogue. On définit comme racine n-ième d'un complexe tout nombre tel que:
D'après le théorème de d'Alembert-Gauss, tout nombre complexe admet au moins une racine n-ième.
Puisque la notion de puissance est multiplicative, il est souvent plus pratique d'utiliser la forme exponentielle des complexes lors des calculs.
[modifier] Méthode de calcul de racines carrées d'un nombre complexe
Soit avec (z est la racine carré de Z), on pose alors le système suivant:
Sig: Sig:
Par identification de la partie réelle et imaginaire, on obtient :
On en déduit alors x2 et y2 en ajoutant et soustrayant les première et troisième équations. Le signe du produit xy est celui de b, d'où l'expression des deux couples de solutions pour x et y.