Intégration par changement de variable

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En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d'intégrales, en analyse.

Sommaire

1 Principe
- 1.1 Exemple
2 Théorème
- 2.1 Enoncé
- 2.2 Démonstration
3 Changements de variables classiques
4 Cas des intégrales multiples
5 Voir aussi

[modifier] Principe

C'est la règle d'intégration qui découle du théorème de dérivation des fonctions composées. Soit deux fonctions dérivables $f, g$ et sachant, par la définition d'intégrale, que

$\int f'(x)\mathrm dx = \int\mathrm df(x) = f(x) + C$

alors ce théorème permet d'obtenir

$\int \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d g(x)} f(g(x)) \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} g(x) \right) \mathrm dx = \int\mathrm d[f \circ g(x)] = f \circ g (x) + C$

[modifier] Exemple

Soit à calculer

$\int_{-\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx$

On pose le changement de variable $u = x 2$ et donc $d u = 2 x d x$ . $x$ varie entre $-\sqrt\pi$ et $2\sqrt\pi$ alors $u$ varie entre $π$ et $4π$ .

$\int_{-\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx = \int_{\pi}^{4\pi} \cos(u)\mathrm du = [\sin(u)]^{4\pi}_{\pi} = \sin(4\pi)-\sin{\pi}=0-0=0$

[modifier] Théorème

[modifier] Enoncé

Soit $f$ une fonction numérique continue, et $\varphi$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur un intervalle $[a, b]$ dont l'image est contenue dans le domaine de définition de $f$ .

Alors

$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt$

[modifier] Démonstration

La fonction $f$ étant continue, on considère une primitive $F$ de $f$ sur $D$ l'ensemble de définition de $f$ . La fonction $F\circ \varphi$ est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a :

$(F\circ\varphi)'=(f\circ \varphi) \times \varphi'$

D'où

$\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt=\int_{a}^{b} ((f\circ \varphi) \times \varphi')(t)\,\mathrm dt$

$=\int_{a}^{b} (F\circ \varphi)'(t)\,\mathrm dt$

$=\left[F\circ \varphi\right]_a^b$

$=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))$

$=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx$

[modifier] Changements de variables classiques

Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
Pour calculer
$\int{f\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}\right)\mathrm{\mathrm d}x}$ ,
où $f$ est une fraction rationnelle en deux variables, $n$ un entier naturel et $a$ , $b$ , $c$ et $d$ quatre réels donnés, on pose
$u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}$ :
le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en $u$ ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.

[modifier] Cas des intégrales multiples

Losque $f$ est une fonctions de plusieurs variables, outre le changement du domaine d'intégration on utilise le jacobien de la transformation « à la place » de $\varphi'$ . Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne. On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions :

$\iint_D f(x,y) \;\mathrm dx\mathrm dy = \iint_T f\bigl(\phi(u,v),\Psi(u,v)\bigr)\left|\frac{\part(\phi,\Psi)}{\part(u,v)}(u,v)\right|~\mathrm du\mathrm dv$ .