Égalité (mathématiques)

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En mathématiques, A et B sont égaux s'ils désignent le même objet ou élément. Cela définit une relation binaire, l'égalité, souvent notée par le symbole « = » ; l'énoncé « x = y » signifie que x et y sont égaux au même objet. La relation contraire ou relation de différence est usuellement notée avec un = barré : « ≠ ».

Une équation est un problème qui vise à déterminer sous quelles conditions une égalité est vraie, elle peut aussi représenter une loi en sciences naturelles (au sens large).

Le symbole « = » est parfois utilisé pour des usages un peu différents :

En analyse, les notations u_n = O(n) (resp. o(n)) signifie que la suite u est dominée par n (resp. négligeable devant n). Ce n'est pas à proprement parler une égalité puisque la notation O(n) (resp. o(n)) n'a pas de sens en tant que telle, et désigne dans les développements asymptotiques n'importe quelle suite dominée par n (resp. négligeable devant n).
En algorithmique, et par la suite dans certains langages de programmation, la notation a = b signifie qu'on affecte à la variable a la valeur de b. Ceci entraîne que l'instruction a = a + 1 est valable : la valeur représentée par a est augmentée de 1. Afin de différencier les notations, on peut précéder le signe d'égalité de deux points, la notation devenant : « a := a + 1 ». Dans d'autre langage c'est le signe d'égalité qui est modifié en « == », le signe d'affectation restant « = ».

Si A est un ensemble, la restriction à A de l'égalité est une relation binaire à la fois réflexive, symétrique, antisymétrique, et transitive. C'est même la seule relation sur A possédant toutes ces propriétés. Une relation binaire ne possédant que les propriétés de symétrie, de réflexivité et de transitivité est une relation d'équivalence. Cependant, à partir d'une relation d'équivalence R sur un ensemble A, on peut créer un ensemble quotient A/R. La relation d'équivalence génère alors sur A/R une relation d'égalité : $\overline{x}=\overline{y} \Leftrightarrow x\ R\ y$ . Il est parfois difficile de travailler sur les classes d'équivalence, on en choisit alors un représentant particulier.

Pour les propositions logiques, on utilise plutôt les symboles d’équivalence ≡, ↔ ou ⇔.

Sommaire

1 Construction logique
2 Quelques propriétés logiques élémentaires sur les égalités
3 Histoire de la notation
4 Au sens large
5 Voir aussi

[modifier] Construction logique

La logique des prédicats contient des axiomes standards pour les égalités qui formalisent les lois de Leibniz, énoncées par le philosophe Leibniz au XVII^e siècle. L'idée de Leibniz était que deux choses sont identiques si et seulement si (ssi) elles ont les mêmes propriétés. En formalisant

Pour tout x et y, (x = y) si et seulement si (pour tout prédicat P, P(x) ssi P(y))

Cependant, dans la logique de premier ordre, on ne peut pas quantifier les prédicats. Nous avons donc besoin d'un schéma d'axiomes :

Pour tout x et y, si x = y alors P(x) ssi P(y).

Cette série d'axiomes valable pour tout prédicat P à une variable, ne prend en compte qu'un seul sens de l'implication: si x = y alors x et y ont les mêmes propriétés.

Pour construire la réciproque, il suffit d'ajouter : pour tout x, x = x

Ainsi, si x et y ont les mêmes propriétés, pour le prédicat P défini par P(z) ssi x = z, nous avons P(x) ssi P(y). Or P(x) est réalisé, donc P(y) est vrai : x = y

Gottlob Frege, s’inspirant de Leibniz, considérait que deux objets sont égaux si et seulement si on peut les substituer l’un pour l’autre partout.

[modifier] Quelques propriétés logiques élémentaires sur les égalités

[modifier] Substitution

Pour toutes quantités a et b, et pour toute expression F(x), si a = b alors F(a) = F(b)

Dans la logique de premier ordre, ceci correspond en réalité à un schéma d'axiome, car nous ne pouvons pas quantifier des expressions comme F (prédicat fonctionnel)

Quelques exemples:

Pour tous réels a, b et c, si a = b, alors a + c = b + c (ici F(x) = x + c)
Pour tous réels a, b et c, si a = b, alors a - c = b - c (ici F(x) = x - c)
Pour tous réels a, b et c, si a = b, alors ac= bc (ici F(x) = xc)
Pour tous réels a, b et c, si a = b et c non nul, alors a/c= b/c (ici F(x) = x/c)

Les deux premiers axiomes sont les notions communes 2 et 3 du premier livre des Éléments d'Euclide.

[modifier] Réflexivité

Pour toute quantité a, a = a

[modifier] Symétrie

Pour toutes quantités a et b, si a = b, alors b = a

[modifier] Transitivité

Pour toutes quantités, x, y et z, si x = y et y = z, alors x = z

Remarque : la relation « est approximativement égal à » dans l'ensemble des réels, n'est pas transitive malgré les apparences, car une somme de petites erreurs finissent par faire une grosse différence. La relation « est égal presque partout », elle, reste une relation transitive

Bien que les propriétés de symétrie et de transitivité soient souvent considérées comme fondamentales (avec la réflexivité, elles caractérisent toutes les relations d'équivalence), elles ne sont ici que des conséquences des propriétés de réflexivité et de substitution.

[modifier] Histoire de la notation

Le signe = a été introduit par Robert Recorde en 1557, dans Whetstone of Witte pour épargner à tous ceux qui effectuaient des calculs (lui, en particulier) d'avoir à écrire est égal en toutes lettres. Il semblerait que ce signe représentait la gémellité (deux lignes de même longueur), apparemment synonyme, pour lui, d'égalité.

Dans l'égypte ancienne, ce signe existait déjà et symbolisait l'amitié, par opposition à deux lignes se croisant, symbole d'inimitié.