Implication

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Voir « implication » sur le Wiktionnaire.

En mathématiques et en logique classique, une proposition P implique logiquement une proposition Q si et seulement si la proposition ¬P ∨ Q est vraie.

¬P ∨ Q s'écrit aussi P ⇒ Q, qui est un simple raccourci d'écriture.

En toutes lettres, ceci se lit :

« (non P) ou Q » s'écrit aussi « P implique Q ».

En logique intuitionniste, P ⇒ Q signifie que si l'on a une démonstration de P alors on a une démonstration de Q.

Le symbole « ⇒ » s’appelle connecteur d’implication. « P ⇒ Q » s’appelle une implication logique.

Sommaire

[modifier] Propriétés

La table de vérité de l’implication est donnée par le tableau :

P Q ¬P P ⇒ Q
vrai vrai faux vrai
vrai faux faux faux
faux vrai vrai vrai
faux faux vrai vrai

Soient P, Q et R trois propositions.

  • (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) s'écrit aussi P ⇔ Q ; c'est l'équivalence logique.
  • P ⇒ P (l’implication est réflexive)
  • ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R) (transitivité de l'implication ou loi du syllogisme)
  • (¬(P ⇒ Q)) ⇔ (P ∧ (¬Q)) (négation d'une implication)
  • (P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q (règle de déduction directe ou du détachement)
  • (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P) (loi de contraposition : une implication est équivalente à sa contraposée)
  • (P ⇔ Q) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)) (loi de réciprocité)
  • ((P ∨ Q) ∧ (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ R (disjonction des cas)

[modifier] Non associativité de l'implication

Soient P, Q et R trois propositions.

  • ((P ⇒ Q) ⇒ R) ⇎ (P ⇒ (Q ⇒ R))

En effet le premier terme énonce qu'une implication implique R alors que le second énonce que P implique une implication.

Donnons un contre-exemple :

Considérons les trois propositions suivantes :

  • P: (-1 = 0)
  • Q: (0 = 0)
  • R: (0 = 1)

La proposition P ⇒ Q est vraie puisque Q est vraie, et comme R est fausse, la proposition (P ⇒ Q) ⇒ R est fausse.

La proposition Q est vraie et la proposition R est fausse donc l’implication (Q ⇒ R) est fausse et comme P est fausse, l’implication P ⇒ (Q ⇒ R) est vraie.

Nous en déduisons qu’en général les propositions P ⇒ (Q ⇒ R) et (P ⇒Q) ⇒ R ne sont pas équivalentes et donc l’implication n’est pas associative.

Il nous est donc impossible d’écrire des chaînes d’implications de la forme :

P1 ⇒ P2 ⇒ P3 ⇒ … ⇒ Pn-1 ⇒ Pn

C’est la raison pour laquelle, nous disposons dans la pratique, les implications de cette façon :

P1 ⇒ P2
⇒ P3
... ...
⇒ Pn

ce qui signifie que les implications :

P1 ⇒ P2, ..., Pn-1 ⇒ Pn

sont vraies, et nous utilisons la transitivité de l’implication pour démontrer que :

P1 ⇒ Pn.

[modifier] Différence avec l'équivalence

Voici un exemple de relation d'implication : « il fait beau » ⇒ « je suis heureux ». Cette proposition est vraie si je suis toujours heureux quand il fait beau.

À ne pas confondre avec la relation d'équivalence qui elle implique que je ne sois heureux QUE lorsqu'il fait beau.

  • La relation d'implication représente le SI (⇒) une condition suffisante dans un sens, une condition nécessaire dans l'autre : dans A ⇒ B, A est une condition suffisante de B, et B est une condition nécessaire de A
    — et —
  • la relation d'équivalence représente le SI ET SEULEMENT SI (⇔), une condition nécessaire et suffisante ;
    A ⇔ B équivaut à (A ⇒ B) ET (B ⇒ A)

voir aussi : Propriété contraposée

[modifier] Remarque

Dans une théorie mathématique, les implications P ⇒ Q vraies démontrées à partir des axiomes sont appelées théorèmes.

Démontrer un théorème, c’est établir qu’une proposition de la forme P ⇒ Q est une assertion vraie (dans la théorie).

Pour démontrer de tels théorèmes, il existe plusieurs types de raisonnements possibles, basés sur les propriétés précédentes de l’implication :

[modifier] Remarque

En dépit de sa notation (⇒) qui pourrait laisser suggérer une relation de cause à effet, l'implication logique n'a pas, en logique classique, de caractère chronologique comme l'ont une cause et un effet. Le temps ne joue pas de rôle, et il faut donc le définir explicitement si l'on veut qu'il joue un rôle (voir logique temporelle). En revanche c'est pour intégrer ce genre de préoccupation que les logiciens ont introduit des logiques constructives, comme la logique intuitionniste ou la logique linéaire.

Cela s'applique également si P est faux. Par exemple : « (0 = 1) ⇒ (0 = 0) » est vraie, car on peut déduire (0 = 0) de (0 = 1) en retranchant membre à membre (0 = 1) à (0 = 1). D'une façon générale, si P est fausse alors l’implication P ⇒ Q est vraie ; et donc toutes les implications que nous écrirons à partir d’une proposition fausse seront vraies ! À partir du faux on peut démontrer n’importe quoi.

En pratique on démontrera donc que l'implication P ⇒ Q est vraie en montrant que si P est vraie, alors Q est vraie.

En fait la déduction directe de Q à partir de P est représentée par l’implication toujours vraie (tautologie) :

(P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q

Si dans certaines conditions, P est vraie ainsi que P ⇒ Q, alors l’implication précédente montre que Q est vraie.

Dans le langage naturel, pour traduire que P implique Q, nous dirons indifféremment.

  • P entraîne Q.
  • P est une condition suffisante de Q.
  • Q est une condition nécessaire de P.
  • Pour que Q soit vraie il suffit que P soit vraie.
  • Pour que P soit vraie il faut que Q soit vraie.

Ajoutons que d’autres formulations de la langue française représentent des implications :

  • « Si… alors… »
  • « … donc… »
  • « … d’où… »
  • « … ainsi… »
  • « de…, nous déduisons que… »
  • « … par conséquent… »

[modifier] Divers

La table de vérité de l'implication était connue dès la Grèce antique, notamment par les stoïciens : « Du vrai suit le vrai... Du faux suit le faux... Du faux suit le vrai... Mais du vrai, le faux ne peut s'ensuivre »[1].

[modifier] Liens internes

[modifier] Notes et références

  1. ↑ Diogène Laërce, Vies et doctrines des philosophes, livre VII, 83