Nombre hyperparfait
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En mathématiques, un nombre k-hyperparfait (quelquefois simplement appelé nombre hyperparfait) est un nombre naturel n pour lequel l'égalité reste valable, où est la fonction diviseur (c.a.d., la somme de tous les diviseurs positifs de n). Un nombre est parfait ssi il est 1-hyperparfait.
Sommaire |
[modifier] Suites de nombres
Les premiers petits nombre dans la suite des nombres k-hyperparfaits sont 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (suite A034897 sur l'Encyclopédie électronique des suites entières), avec les valeurs correspondantes de k étant 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (suite A034898 sur l'Encyclopédie électronique des suites entières). Les premiers petits nombres k-hyperparfaits qui ne sont pas parfaits sont 21, 301, 325, 697, 1333, ... (suiteA007592 sur l'Encyclopédie électronique des suites entières).
[modifier] Table
La table suivante liste les premiers petits nombres k-hyperparfaits pour certaines valeurs de k, mis en regard avec le numéro de la suite des nombres k-hyperparfaits dans l'Encyclopédie électronique des suites entières :
k | OEIS | Quelques nombres k-hyperparfaits connus |
---|---|---|
1 | A000396 | 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... |
2 | A007593 | 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... |
3 | 325, ... | |
4 | 1950625, 1220640625, ... | |
6 | A028499 | 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... |
10 | 159841, ... | |
11 | 10693, ... | |
12 | A028500 | 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... |
18 | A028501 | 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... |
19 | 51301, ... | |
30 | 3901, 28600321, ... | |
31 | 214273, ... | |
35 | 306181, ... | |
40 | 115788961, ... | |
48 | 26977, 9560844577, ... | |
59 | 1433701, ... | |
60 | 24601, ... | |
66 | 296341, ... | |
75 | 2924101, ... | |
78 | 486877, ... | |
91 | 5199013, ... | |
100 | 10509080401, ... | |
108 | 275833, ... | |
126 | 12161963773, ... | |
132 | 96361, 130153, 495529, ... | |
136 | 156276648817, ... | |
138 | 46727970517, 51886178401, ... | |
140 | 1118457481, ... | |
168 | 250321, ... | |
174 | 7744461466717, ... | |
180 | 12211188308281, ... | |
190 | 1167773821, ... | |
192 | 163201, 137008036993, ... | |
198 | 1564317613, ... | |
206 | 626946794653, 54114833564509, ... | |
222 | 348231627849277, ... | |
228 | 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... | |
252 | 389593, 1218260233, ... | |
276 | 72315968283289, ... | |
282 | 8898807853477, ... | |
296 | 444574821937, ... | |
342 | 542413, 26199602893, ... | |
348 | 66239465233897, ... | |
350 | 140460782701, ... | |
360 | 23911458481, ... | |
366 | 808861, ... | |
372 | 2469439417, ... | |
396 | 8432772615433, ... | |
402 | 8942902453, 813535908179653, ... | |
408 | 1238906223697, ... | |
414 | 8062678298557, ... | |
430 | 124528653669661, ... | |
438 | 6287557453, ... | |
480 | 1324790832961, ... | |
522 | 723378252872773, 106049331638192773, ... | |
546 | 211125067071829, ... | |
570 | 1345711391461, 5810517340434661, ... | |
660 | 13786783637881, ... | |
672 | 142718568339485377, ... | |
684 | 154643791177, ... | |
774 | 8695993590900027, ... | |
810 | 5646270598021, ... | |
814 | 31571188513, ... | |
816 | 31571188513, ... | |
820 | 1119337766869561, ... | |
968 | 52335185632753, ... | |
972 | 289085338292617, ... | |
978 | 60246544949557, ... | |
1050 | 64169172901, ... | |
1410 | 80293806421, ... | |
2772 | A028502 | 95295817, 124035913, ... |
3918 | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... | |
9222 | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... | |
9828 | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... | |
14280 | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... | |
23730 | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... | |
31752 | A034916 | 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... |
55848 | 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... | |
67782 | 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... | |
92568 | 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... | |
100932 | 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... |
[modifier] Propriétés
Il peut être montré que si est un nombre entier impair et et sont des nombres premiers, alors est k-hyperparfait; Judson S. McCraine a conjecturé en 2000 que tosu les nombres k-hyperparfaits pour impair sont de cette forme, mais l'hypothèse n'a pas encore été démontrée. De plus, il peut être démontré que si sont des nombres premiers impairs et k un entier tel que , alors p.q est k-hyperparfait.
Il est aussi possible de montrer que si k > 0 et est premier, alors pour tout i > 1 tel que est premier, est k-hyperparfait. La table suivante liste les valeurs connues de k et les valeurs correspondantes de i pour lesquelles n est k-hyperparfait :
k | OEIS | Valeurs de i |
---|---|---|
16 | A034922 | 11, 21, 127, 149, 469, ... |
22 | 17, 61, 445, ... | |
28 | 33, 89, 101, ... | |
36 | 67, 95, 341, ... | |
42 | A034923 | 4, 6, 42, 64, 65, ... |
46 | A034924 | 5, 11, 13, 53, 115, ... |
52 | 21, 173, ... | |
58 | 11, 117, ... | |
72 | 21, 49, ... | |
88 | A034925 | 9, 41, 51, 109, 483, ... |
96 | 6, 11, 34, ... | |
100 | A034926 | 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ... |
[modifier] Voir aussi
[modifier] Articles connexes
[modifier] Liens externes
- (en) Hyper Perfect Number
[modifier] Lectures plus poussées
[modifier] Articles
- Daniel Minoli, Robert Bear, Hyperperfect Numbers, PME (Pi Mu Epsilon) Journal, University Oklahoma, Fall 1975, pp. 153-157.
- Daniel Minoli, Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers, Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem; Vol. 4, No. 2, Dec 1978, pp. 277-302.
- Daniel Minoli, Structural Issues For Hyperperfect Numbers, Fibonacci Quarterly, Feb. 1981, Vol. 19, No. 1, pp. 6-14.
- Daniel Minoli, Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers, Mathematics of Computation, Vol. 34, No. 150, April 1980, pp. 639-645.
- Daniel Minoli, New Results For Hyperperfect Numbers, Abstracts American Math. Soc., October 1980, Issue 6, Vol. 1, pp. 561.
- Daniel Minoli, W. Nakamine, Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms, 1980 IEEE International Conf. on Acoust., Speech and Signal Processing.
- Judson S. McCranie, A Study of Hyperperfect Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000),
Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité | |
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Formes de factorisation : | Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré |
Sommes de diviseurs : | Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre pratique |
Nombres de diviseurs : | Nombre abondant · Nombre hautement abondant · Nombre superabondant · Nombre colossalement abondant · Nombre hautement composé |
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