Mathématiques en Égypte antique

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Unités de mesure

Les mathématiques en Égypte antique étaient fondées sur un système décimal. Chaque puissance de dix était représentée par un hiéroglyphe particulier. Le zéro était inconnu. Toutes les opérations étaient ramenées à des additions. Pour exprimer des valeurs inférieures à leur étalon, les Égyptiens utilisaient un système simple de fractions unitaires.

Pour déterminer la longueur d'un champ, sa surface ou encore mesurer un butin, les Égyptiens utilisaient trois systèmes de mesure différents, mais tous obéissaient aux règles décrites ci-dessus.

Sommaire 1 Les unités de mesure 2 L'Œil d'Horus ou Œil Oudjat 3 Le triangle égyptien ou triangle 3-4-5 4 Connaissances mathématiques 5 Voir aussi 5.1 Notes 5.2 Sources 5.3 Liens internes 5.4 Liens externes

[modifier] Les unités de mesure

Plusieurs systèmes coexistaient selon le type de mesure désirée.

Pour mesurer des longueurs, il existait deux systèmes. Le premier était basé sur la grande coudée ou coudée royale (meh ni-sout). Cette coudée représentait la distance entre le bout du majeur et la pointe du coude et mesurait à peu près 0,5 mètre. Cette unité était très utilisée pour mesurer les largeurs, longueurs de pièces d'une construction ou des salles d'un temple, mais aussi la hauteur d'une crue. Cent coudées constituent un khet.

Le deuxième système, le système oncial, était lui basé sur la coudée sacrée (meh djeser). Elle mesurait à peu près 0,7 mètre. Elle était principalement utilisée dans la décoration des tombes, temples et palais.

Pour les surfaces, l'unité de mesure était l'aroure. Elle représentait un carré de 1 khet (100 coudées) de côté. On nommait coudée de terre (meh) une bande d'une coudée sur cent. L'aroure était utilisée pour mesurer des terres, et construire un cadastre précis après chaque crue.

Pour mesurer des volumes, l'unité de mesure était l'hekat. Les mesures s'effectuaient grâce à un sac de cuir de vingt hekat. Les Égyptiens avaient réussi à établir une correspondance de ce système avec celui des longueurs : il y avait équivalence entre le cube de la coudée royale et trente hekat. L'hekat était utilisé pour mesurer les récoltes de grain.

Pour mesurer un poids, l'unité de mesure était le deben. À l'Ancien Empire, son poids variait selon le type du produit pesé (or, cuivre...), mais au Nouvel Empire, ce système se simplifia et ne garda qu'un étalon unique (d'environ 91 grammes). De petits cylindres en pierre servaient à la mesure et matérialisait cet étalon. Cette unité servait à mesurer l'importance d'un butin ou d'un poids de métaux précieux utilisés pour une décoration.

[modifier] L'Œil d'Horus ou Œil Oudjat

Les scribes se servaient des premières fractions dyadiques, à savoir 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 et 1/64 pour faire des calculs. Celles-ci étaient représentées par l'Œil d'Horus, une représentation de l'œil gauche d'Horus perdu puis retrouvé.

Seth le lui ôta par jalousie et le découpa en plusieurs morceaux, Thot en retrouva 6 morceaux (représentant les 6 fractions donc) mais il manquait 1/64 pour faire l'unité. Thot y ajouta alors « le liant magique » permettant à l'œil de recouvrer son unité. Les scribes opéraient donc leurs calculs en approximant 63/64 à 1.

La composition de deux fractions susnommées leur permettait d'en créer de nouvelles (par exemple 1/2 et 1/4 pour avoir 3/4).

Les parties du dessin, stylisées, sont utilisées comme hiéroglyphes pour noter, dans les textes sur les volumes de grains, les fractions correspondantes (voir Œil Oudjat). Dans les papyrus mathématiques, les fractions sont notées en écrivant les nombres explicitement mais, dans les sections R37 et R38 du papyrus Rhind, qui comportent chacunes des vérifications différentes, les deux dernières de R37 et la dernière de R38 sont proposée sous forme de volumes de grains en hekat et écrites dans la notation de l'œil Oudjat, de même que le calcul de R64 ^[1].

[modifier] Le triangle égyptien ou triangle 3-4-5

Un triangle dont les côtés sont en proportion 3-4-5 est rectangle, l'angle droit étant défini par les côtés 3 et 4. Cette propriété se démontre par la récriproque du théorème de Pythagore, du fait que 3² + 4² = 5² (car 9 + 16 = 25).

Le triangle rectangle 3-4-5 est très anciennement connu : le triplet pythagoricien 3-4-5 est mentionné sur des tablettes babyloniennes. Il est clairement attesté dans quatre des sections du papyrus Rhind : R57, R58, R59a et R59b, dans le calcul de la pente d'une pyramide ^[2] (inclinaison de 5 + 1/4 palmes, voir papyrus Rhind).

Il est admis que les architectes égyptiens traçaient leurs angles droits au moyen de ce triangle égyptien, mais cette technique semblait tellement naturelle qu'elle a laissé peu de traces écrites. L'usage perdurera tout au long du Moyen-Âge (voir corde à treize nœuds).

La pyramide de Khephren est construite en respectant le triangle directeur des quatre exemples du papyrus Rhind : la ligne de plus grande pente d'une face étant comme 5, la verticale du sommet à la base est comme 4 et la demi-base qui termine le triangle rectangle est comme 3, ce qui correspond à un angle théorique de 53°07'48" de la ligne de plus grande pente avec l'horizontale. L'angle mesuré par Petrie (53°10', voir pyramide de Khephren) est très proche de cette valeur. Le carré de la base, de 215,16m de côté, est exact à 8cm près, les côtés sont parallèles à 1' près, les faces sont orientées avec les points cardinaux à 5' près. La hauteur, évaluée à 143,87m, correspond pour le tétraèdre à une pente de 53°13'^[3].

Quand on sait que, de nos jours encore, une bonne chaîne d'arpenteur, c'est à dire une ruban en acier à coefficient de dilatation minimal, de 30 m de long, donne une précision maximale de +/- 0,5 cm par portée de 30 m et qu'un théodolite (mesureur d'angle) de chantier a une précision angulaire réelle de 25 gon (+/- 22,6") soit le cinquième de la précision sur le parallélisme des côtés de la base, on peut être en droit de se demander comment ce résultat à pu être obtenu à l'aide d'instrument aussi simples qu'une corde à 13 nœuds.

L'interrogation s'accroît quand on sait que la précision d'alignement entre les trois pyramides est de la même qualité alors que, nécessairement, la visée directe droite n'a plus été possible après l'érection de la première des pyramides.

[modifier] Connaissances mathématiques

Les Égyptiens connaissaient les quatre opérations, pratiquaient le calcul fractionnaire, étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position et de résoudre certaines équations du second degré. Le papyrus Rhind explique comment calculer l'aire d'un cercle en utilisant une approximation fractionnaire de pi : 4x(8/9)x(8/9)=3,16. Le papyrus de Moscou, quant à lui, explique entre autres comment calculer le volume d'une pyramide tronquée et la surface d'une demi-sphère, montrant que les anciens Égyptiens avaient de bonnes connaissances en géométrie.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Notes

[modifier] Sources

[modifier] Liens internes

[modifier] Liens externes

• Brève chronologie de l'histoire des mathématiques en Egypte