Intégrales de Wallis

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En analyse, les intégrales de Wallis constituent une famille d'intégrales introduites par John Wallis.

Sommaire

1 Définition, premières propriétés
2 Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis
3 Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis
4 Application à la formule de Stirling
5 Application au calcul de l'intégrale de Gauss
6 Nota

[modifier] Définition, premières propriétés

On appelle habituellement intégrales de Wallis les termes de la suite réelle $(W_n)_{\,n\, \in\, \mathbb{N}\,}$ définie par :

$W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x)\,dx$ , ou de façon équivalente (par le changement de variable $x = \frac{\pi}{2} - t$ ):

$W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(x)\,dx$

En particulier, les deux premiers termes de cette suite sont :

$\quad W_0=\frac{\pi}{2}\qquad \,$ et $\quad W_1=1\,$

La suite $\ (W_n)$ est décroissante, à termes strictement positifs. En effet, pour tout $n \in\, \mathbb{N}$ :

$\ W_n > 0$ : c'est l'intégrale d'une fonction continue, positive, et non identiquement nulle sur l'intervalle d'intégration
$W_{n} - W_{n + 1}= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}(x)\,dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n + 1}(x)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}(x)\, [1 - \sin(x)]\,dx \geqslant 0$

(par linéarité de l'intégrale et parce que la dernière intégrale est celle d'une fonction positive sur l'intervalle d'intégration)

Nota : décroissante et minorée (par 0), la suite $\ (W_n)$ converge, et sa limite est positive ou nulle ; en fait, elle est nulle, comme cela résulte de l'équivalent obtenu plus loin.

[modifier] Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis

Une intégration par parties va permettre d'établir une relation de récurrence intéressante :

En remarquant que pour tout réel $x$ , $\quad \sin^2(x) = 1-\cos^2(x)$ , on a pour tout entier naturel n≥2 :

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}(x)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}(x) \left[1-\cos^2(x)\right]\,dx$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}(x)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}(x)\,dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}(x) \cos^2(x)\,dx$ (relation $\mathbf{(1)}$ )

On intègre alors par parties la seconde intégrale du second membre, en posant:

$u'(x)=\cos (x) \sin^{n-2}(x) \Rightarrow u(x) = \frac{1}{n-1} \sin^{n-1}(x)$
$v(x)=\cos (x) \Rightarrow v'(x) = - \sin(x)$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}(x) \cos^2(x)\,dx = \left[ \frac{1}{n-1} \sin^{n-1}(x) \cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ \frac{1}{n-1} \sin^{n-1}(x) \sin(x)\,dx = 0 + {1\over {n-1}}\,W_{n}$

En reportant dans $\mathbf{(1)}$ , on obtient alors:

$W_n=W_{n-2} - {1\over {n-1}}\,W_{n}$

d'où:

$\qquad \left(1+ \frac{1}{n-1}\right)W_n=W_{n-2}$ (relation $\mathbf{(2)}$ )

Ceci se traduit par la relation bien connue :

$n\,W_n = (n-1)\,W_{n-2}\qquad \,$ , valable pour $n \geqslant 2\qquad \,$ .

On a là une relation de récurrence donnant $W n$ en fonction de $W n - 2$ , c'est à dire le n-ième terme de la suite en fonction du (n-2)-ième. De cette relation et des valeurs de $W 0$ et $W 1$ , on tire une expression des termes de la suite, selon la parité de leur rang. Ainsi :

pour $\quad n=2\,p$ , $\quad W_{2\,p}=\frac{2\,p-1}{2\,p}\times\frac{2\,p-3}{2\,p-2}\times\cdots\times\frac{1}{2}\,W_0=\frac{2\,p}{2\,p}\times\frac{2\,p-1}{2\,p}\times\frac{2\,p-2}{2\,p-2}\times\frac{2\,p-3}{2\,p-2}\times\cdots\times\frac{2}{2}\times\frac{1}{2}\,W_0 = \frac{(2\,p)!}{2^{2\,p}\, (p!)^2} \frac{\pi}{2}$
pour $\quad n=2\,p+1$ , $\quad W_{2\,p+1}=\frac{2\,p}{2\,p+1}\,\frac{2\,p-2}{2\,p-1}\cdots\frac{2}{3}\,W_1=\frac{2^{2\,p}\, (p!)^2}{(2\,p +1)!}~$

On remarque que les termes de rang pair sont irrationnels, tandis que ceux de rang impair sont rationnels.

[modifier] Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis

De la formule de récurrence précédente $\mathbf{(2)}$ , on déduit d'abord que :

$\ W_{n + 1} \sim W_n$ (équivalence de deux suites).

En effet, pour tout $n \in\, \mathbb{N}$ :

$\ W_{n + 2} \leqslant W_{n + 1} \leqslant W_n$ (la suite étant décroissante) donc :

$\frac{W_{n + 2}}{W_n} \leqslant \frac{W_{n + 1}}{W_n} \leqslant 1$ (puisque $\ W_n > 0$ ), ce qui s'écrit :

$\frac{n + 1}{n + 2} \leqslant \frac{W_{n + 1}}{W_n} \leqslant 1$ (d'après la relation $\mathbf{(2)}$ ).

Par encadrement, on conclut que $\frac{W_{n + 1}}{W_n} \to 1$ , soit $\ W_{n + 1} \sim W_n$ .

Puis on établit l'équivalence suivante :

$W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2\, n}}\quad$ ( soit encore $\quad\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt n\,W_n=\sqrt{\pi /2}\quad$ ).

Démonstration

Pour tout $n \in\, \mathbb{N}$ , posons $u_n = (n + 1)\, W_n\, W_{n + 1}$ .

Alors, $\forall n\in \N,\, u_{n + 1} = u_n$ d'après la relation $\mathbf{(2)}$ : la suite $\ (u_n)$ est donc constante.

On en déduit que pour tout $n \in\, \mathbb{N}$ , $u_n = u_0 = W_0\, W_1 = \frac{\pi}{2}$ .

Par ailleurs, puisque $\ n + 1 \sim n$ et $\ W_{n + 1} \sim W_n$ , on a $\ u_n \sim n\, W_n^2$ , par produit d'équivalents.

Ainsi, $\ n\, W_n^2 \sim \frac{\pi}{2}$ , d'où découle (puisque $\ W_n > 0$ ) l'équivalence annoncée.

[modifier] Application à la formule de Stirling

On suppose connue l'équivalence suivante (établie dans l'article sur la formule de Stirling):

$\ n\,! \sim C\, \sqrt{n}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n$ , où $\ C \in \R^*$ .

On se propose maintenant de déterminer la constante $\ C$ à l'aide d'équivalents de $W_{2\, p}$ .

Du paragraphe précédent résulte l'équivalence :

$W_{2\, p} \sim \sqrt{\frac{\pi}{4\, p}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\, \frac{1}{\sqrt{p}}$ (relation $\mathbf{(3)}$ )

Par ailleurs, en utilisant l'équivalent de la factorielle donné supra :

$W_{2\,p}=\frac{(2\,p)!}{2^{2\,p}\, (p\,!)^2}\, \frac{\pi}{2} \sim \frac{C\, \left(\frac{2\, p}{\mathrm{e}}\right)^{2p}\, \sqrt{2\, p}}{2^{2p}\, C^2\, \left(\frac{p}{\mathrm{e}}\right)^{2p}\, \left(\sqrt{p}\right)^2}\, \frac{\pi}{2}$ , soit :

$W_{2\,p} \sim \frac{\pi}{C\, \sqrt{2}}\, \frac{1}{\sqrt{p}}$ (relation $\mathbf{(4)}$ )

Des équivalences $\mathbf{(3)}$ et $\mathbf{(4)}$ , on déduit par transitivité :

$\frac{\pi}{C\, \sqrt{2}}\, \frac{1}{\sqrt{p}} \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2}\, \frac{1}{\sqrt{p}}$ , d'où :

$\frac{\pi}{C\, \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ , et enfin $C = \sqrt{2\, \pi}$ .

On a ainsi établi la formule de Stirling dans sa version définitive :

$\ n\,! \sim \sqrt{2\, \pi\, n}\, \left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n$ .

[modifier] Application au calcul de l'intégrale de Gauss

On peut aisément utiliser les intégrales de Wallis pour calculer l'intégrale de Gauss.

Vérifions d'abord les inégalités suivantes:

$\forall n\in \mathbb N^* \quad \forall u\in\mathbb R_+ \quad u\leqslant n\quad\Rightarrow\quad (1-u/n)^n\leqslant e^{-u}$
$\forall n\in \mathbb N^* \quad \forall u \in\mathbb R_+ \qquad e^{-u} \leqslant (1+u/n)^{-n}$

En effet en posant $\quad u/n=t$ la première inégalité (pour laquelle $t \in [0,1]$ ) équivaut à $1-t\leqslant e^{-t}$ . Quant à la seconde elle s'écrit $e^{-t}\leqslant (1+t)^{-1}$ , ce qui revient à $e^t\geqslant 1+t$ . Ces 2 inégalités sont des conséquences immédiates de la convexité de la fonction exponentielle (ou si l'on préfère de l'étude de la fonction $t \mapsto e^t -1 -t$ ).

Posant alors $u = x 2$ et utilisant les propriété élémentaires des intégrales ("impropres") (la convergence des intégrales est immédiate) on obtient l'encadrement:

$\int_0^{\sqrt n}(1-x^2/n)^n dx \leqslant \int_0^{\sqrt n} e^{-x^2} dx \leqslant \int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx \leqslant \int_0^{+\infty} (1+x^2/n)^{-n} dx$ .

Or les intégrales d'encadrement se ramènent facilement à des intégrales de Wallis. Pour celle de gauche il suffit de poser $x=\sqrt n\, \sin\,t$ (t variant de 0 à $π / 2$ ) et elle s'écrit $\sqrt n \,W_{2n+1}$ . Quant à celle de droite, on peut poser $x=\sqrt n\, \tan\, t$ (t variant de $0$ à $π / 2$ ) qui donne $\sqrt n \,W_{2n-2}$ .