Discuter:Intégrales de Wallis

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[modifier] Intégrale de Gauss

Bonjour,

J'ai l'impression qu'on peut calculer l'intégrale de Gauss plus rapidement avec cette méthode, en utilisant la convergence uniforme de $\left(1-\frac{x}{n}\right)^n$ (sur $[0, A]$ , 0 ailleurs) vers $e x p$ sur $[0, A]$ . On a $\int_A^{+\infty}e^{-t^2}\mathrm{d}t\leq\int_A^{+\infty}e^{-t}\mathrm{d}t\leq e^{-A}$ . On fixe $\varepsilon>0$ , ce qui donne un $A$ convenable pour majorer le reste de la différence par $\frac{\varepsilon}{2}$ . Ensuite, on utilise la convergence uniforme et on trouve un $n$ convenable pour majorer la différence par $\frac{\varepsilon}{2}$ .

Je me trompe ?

Si c'est correct, ça me paraît moins astucieux (il n'y a qu'une seule astuce de changement de variable à connaître)

Merci, Kingmike 4 juin 2006 à 15:00 (CEST)

Bonjour,

Le calcul élémentaire de l'intégrale de Gauss par encadrement en utilisant Wallis n'a rien de bien long , fastidieux ou compliqué (il est tout à fait accessible à un étudiant de première année et constitue un exercice de TD classique). Je me suis permis de refaire cette partie (sans convergence uniforme).

Quant à l'utilisation de la convergence uniforme évoquée par l'utilisateur ci-dessus, cela ne paraît pas évident... S'il est en effet possible de trouver A rendant le reste de l'intégrale de l'exponentielle inférieur à $ε / 2$ , le problème est différent pour celui de l'intégrale de $(1 - x 2 / n) n$ qui est divergente ! On peut avoir l'idée de travailler avec la fonction $(1 + x 2 / n) - n$ dont l'intégrale sur $[0,\infty]$ est convergente. Mais il faudrait majorer cette fonction uniformément en n, ce qui ne paraît guère possible puisqu'on ne peut faire cette majoration uniforme que par ... 1 apparemment...???

pduceux 18/07/2006

[modifier] D'accord, mais...

Je suis d'accord avec votre remarque, mais mon idée initiale était de travailler avec $(1 - x 2 / n) n$ seulement sur $[0, A]$ . L'intégrale étant alors convergente (c'est un segment), avec $n > A 2$ bien sûr, et la convergence uniforme SUR CE SEGMENT, on peut bien travailler avec.

Pour ce qui est du niveau de difficulté des astuces, il faut au moins admettre que quelqu'un qui ne l'a jamais vu peut mettre un certain temps à le trouver...

Kingmike 20 juillet 2006 à 14:36 (CEST)

[modifier] Même discussion (suite)

Je continue à penser que l'utilisation de la convergence uniforme n'est pas tout à fait aussi évidente que vous le dites dans la mesure où on s'astreint à une démonstration rigoureuse et complète. Bien sûr, on y parvient au prix de quelques contorsions... Le mieux pour simplifier l'exposé, je pense, est d'introduire la suite de fonctions $\quad f_n(x)$ égale à $(1 - x 2 / n) n$ si $x\le\sqrt n$ et à 0 si $x>\sqrt n$ . Utilisant alors l'encadrement $0 \le f_n(x)\le e^{-x^2}$ d'une part et la convergence uniforme sur [0,A] de $\; f_n$ vers $e^{-x^2}$ d'autre part, on peut écrire:
$0\le\int_0^\infty e^{-x^2}\;dx\;-\sqrt n\;W_{2n+1}\;=\int_0^\infty e^{-x^2}\;dx -\int_0^\infty f_n(x)\;dx \le \int_0^A e^{-x^2}\;dx -\int_0^A f_n(x)\;dx+\;\int_A^\infty e^{-x^2}\;dx\;+\int_A^\infty f_n(x)\;dx.$
$ε$ étant donné on peut trouver A pour que chacune des 2 dernières intégrales soient majorée par $\epsilon\,/3$ (la dernière est majorée par la précédente). Ensuite trouver N tel que $n > N$ entraine la différence des 2 premières inférieure à $ε / 3$ et c'est gagné.

Bon tout cela est bien beau mais n'apporte pas grand chose par rapport à une démonstration par encadrement n'utilisant qu'un minimum de connaissances (En se mettant dans la peau d'un étudiant relativement débutant, la convergence uniforme sur [0,A] est tout de même à démontrer. C'est peut-être un résultat classique mais si on va par là, la valeur de $\int_0^\infty e^{-x^2}\;dx$ est tout aussi classique ...). Bien sûr on peut y voir un exercice sur la convergence uniforme, pourquoi pas ?

Pourtant la convergence uniforme n'est pas la voie royale concernant les problèmes de limites d'intégrales! En réalité depuis un certain Lebesgue ces problèmes se sont bien éclaircis! Dans le cas présent le théorème de convergence monotone de Lebesgue ( $\; f_n$ est une suite croissante de fonctions mesurables (puisque continues) positives sur $\mathbb R$ convergeant simplement vers $e^{-x^2}$ d'où il suit immédiatement la convergence de la suite des intégrales sur $\mathbb R$ vers celle de $e^{-x^2}$ ) ou le théorème de convergence dominée du même ( $\; f_n\; =|f_n|$ dominée par $e^{-x^2}$ ) nous livrent le résultat immédiatement.