Intégration par parties

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

La formule-type est la suivante, où $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et $a$ et $b$ deux réels de leur intervalle de définition :

$\int_a^b u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \Bigl[u(x) v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \,\mathrm dx$

ou encore, en remarquant que $u'(x)d x$ et $v'(x)d x$ sont respectivement les différentielles de $u$ et de $v$ :

$\int u\,\mathrm dv= uv-\int v\,\mathrm du$

[modifier] Démonstration

La démonstration de cette formule est très simple : en effet, elle découle directement de la propriété de dérivation d'un produit de fonctions $u$ et $v$ : $(u v)' = u' v + u v'$ .

On a donc $u v' = (u v)' - u' v$ puis :

$\int u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \int (uv)'(x)\,\mathrm dx - \int u'(x) v(x)\,\mathrm dx$

Ce qui donne bien la propriété énoncée ci-dessus.

Cette démonstration peut également être faite à l'aide de la notation de Leibniz. Soit deux fonctions dérivables $u$ et $v$ . La règle de la dérivation d'un produit nous donne :

$\frac {\mathrm d(uv)}{\mathrm dx}= u\frac {\mathrm dv}{\mathrm dx}+v\frac {\mathrm du}{\mathrm dx}$

En multipliant par $d x$ on obtient :

$\mathrm d(uv)= u\frac {\mathrm dv\mathrm dx}{\mathrm dx}+v\frac {\mathrm du\mathrm dx}{\mathrm dx}$

d(u v) = u d v + v d u

On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :

u d v = d(u v) - v d u

Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :

$\int u\,\mathrm dv= \int \mathrm d(uv)-\int v\,\mathrm du$

On obtient alors :

$\int u\,\mathrm dv= uv-\int v\,\mathrm du$

Grâce à la formule de Leibniz, on peut généraliser cette méthode aux fonctions de classe $C k + 1$ :

$\int_{a}^{b} f(x) g^{k+1}(x)\,\mathrm dx = \left[ \sum_{n=0}^{k}(-1)^{n} f^{n}(x) g^{k-n}(x) \right]_{a}^{b} + (-1)^{k+1} \int_{a}^{b} f^{k+1}(x) g(x) \,\mathrm dx$

La règle employée pour dériver est l'ordre LPET. L'on commence par les fonctions logarithmiques puis polynomiales, exponentielles et enfin trigonométriques.