Fonction analytique

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Une fonction analytique est une fonction qui peut s'exprimer localement comme une série entière convergente. En analyse complexe le résultat important est que les fonctions holomorphes sont analytiques.

Sommaire

[modifier] Définition

Soit f : U \to \mathbb{C} \, une fonction à variable complexe, où U \, est un ouvert de \mathbb{C} \,. On dit que la fonction f \,est analytique sur U \, si pour tout a \in U \,, il existe une suite (a_{n}) \,de nombres complexes et il existe un réel r>0 \, tel que pour tout z \in D(a,r) \,, c'est-à-dire pour tout z \, dans le disque (ouvert) de centre a \, et de rayon r \,, supposé inclus dans U \,, on a :

  • f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty}a_{n}\,(z-a)^{n}

Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition.

[modifier] Propriétés des fonctions analytiques

  • Une fonction analytique est holomorphe. Il existe d'ailleurs une réciproque à cette proposition, à savoir que toute fonction holomorphe sur un ouvert est analytique sur celui-ci.
  • De plus, une fonction analytique est infiniment dérivable (au sens complexe, voir fonction holomorphe) et la dérivée n-ième en un point a \in U \, est f^{(n)}(a)=n\,!\,a_{n} \, avec les notations données dans la définition. Ceci prouve que le développement de f en série entière au voisinage de chaque point a de U est unique ; on l'appelle encore développement en série de Taylor.
  • L'ensemble des fonctions analytiques sur un ouvert est une algèbre : la somme et le produit de fonctions analytiques sont analytiques.
  • Lorsqu'elle est définie, la composée de fonctions analytiques est analytique.
  • Toute série entière de rayon de convergence non nul définit sur son disque de convergence une fonction analytique. Ce n'est pas trivial, car une série entière est a priori un développement au voisinage d'un seul point.
  • Toute fonction polynomiale est analytique sur \mathbb{C} : on dit qu'elle est entière. Étant donnée une fonction polynomiale, les termes de son développement en série entière au voisinage d'un point quelconque de \mathbb{C} sont tous nuls à partir d'un certain rang.

[modifier] Fonctions analytiques : exemples et contre-exemples

  • La fonction exponentielle donnée par \exp(z)= \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^{n}}{n!} est analytique sur \mathbb{C} : c'est une fonction entière.
  • La fonction f : \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}, z \mapsto z^{-1} est analytique sur \mathbb{C}^*.
  • La fonction z \mapsto |z|^2 = z \overline{z} n'est pas analytique : on montre qu'elle n'admet de dérivée (au sens complexe) qu'en 0.
  • La fonction z \mapsto \mathrm{Re}(z) n'est pas analytique : elle n'admet de dérivée (au sens complexe) en aucun point de \mathbb{C}.
(on notera que les deux dernières fonctions admettent des dérivées partielles de tous ordres)

[modifier] Les principaux théorèmes sur les fonctions analytiques

[modifier] Le principe des zéros isolés

On considère à nouveau un ouvert connexe U \subset \mathbb{C} et une fonction analytique f : U \to \mathbb{C} \,. Si f \, n'est pas la fonction nulle, alors tous ses zéros sont isolés, c'est-à-dire que si a \in U \, est tel que f(a) = 0, alors il existe un disque centré en a \, , inclus dans \ U, tel que f \, ne s'annule en aucun autre point que a \, sur ce disque ; ceci se traduit par :

  • \exists r >0 , D(a,r) \subset U et \forall z \in D(a,r)\setminus \{a\}, f(z) \neq 0

Ainsi, toute fonction f : U \to \mathbb{C} \, non constante (ie. \exists (\alpha,\beta)\in U^2\ \alpha\neq\beta\ et\ f(\alpha) \neq f(\beta)), n'est constante en aucun point (ie. dans aucune direction à partir de ce point), ce qui se traduit par :

  • \forall a \in U\ \exists r >0 , D(a,r) \subset U et \forall z \in D(a,r)\setminus \{a\}, f(z) \neq f(a)

On en déduit qu'aucune fonction analytique f : U \to \mathbb{C} \, non constante ne peut avoir son image f(U)\, contenue dans un espace vectoriel réel de dimension 1 (en particulier, f(U) \not\subset \mathbb{R}). En effet, comme f\, est continue car analytique, il devrait y avoir existence de courbes de niveau, et le résultat ci-dessus l'interdit, d'où ce dernier corollaire.

[modifier] Le principe du prolongement analytique

Icône de détail Article détaillé : prolongement analytique.

Soient U \subset \mathbb{C} un ouvert, a un point de U et une fonction analytique f : U \to \mathbb{C}. On suppose en outre que U est connexe (cette hypothèse est essentielle). Alors les trois propositions suivantes sont équivalentes :

  1. f est identiquement nulle sur U
  2. f est identiquement nulle dans un voisinage de a
  3. \forall n \in \N,\ f^{(n)}(a)=0

Ce théorème signifie que si une fonction analytique sur un ouvert connexe s'annule sur un disque de rayon si petit soit-il, alors c'est la fonction nulle. On peut interpréter cela comme un résultat d'unicité pour la théorie du prolongement analytique.


Démonstration

Il est clair que 1 implique 2 qui implique 3.

La fonction f est analytique sur U donc au voisinage de a \in U on a

f(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(z-a)^n

donc si

\forall n \in \N,\ f^{(n)}(a)=0

on obtient bien que f est identiquement nulle au voisinage de a. Donc 3 implique 2.

Montrons maintenant que 2 implique 1. L'ensemble A des points de U telle que f soit nulle dans un voisinage de ces points est un ouvert par définition, et il est de plus non vide (on suppose 2). On prend maintenant une suite (zn) de points de A qui converge vers \ell \in U. Comme 2 implique 3, on a

\forall n,k \in \N,\ f^{(n)}(z_k)=0

La fonction f étant analytique sur U, elle est développable en série entière en \ell \in U, et donc f est nulle au voisinage de \ell, donc \ell \in A. Donc A est fermé dans U. Il est de plus non vide et ouvert dans U donc par connexité de U il vient A = U. Donc f est identiquement nulle sur U . Donc 2 implique 1.

Un corollaire de ce théorème nous dit que si deux fonctions analytiques coïncident sur un voisinage d'un point d'un ouvert connexe, alors ces deux fonctions sont égales.

[modifier] Listes de mathématiciens ayant travaillé sur la théorie des fonctions analytiques

  • Ludovico Ferrari qui invente en 1540 les nombres complexes pour résoudre l'équation du 4e degré.
  • De Moivre à qui l'on doit les célèbres formules de Moivre.
  • Stirling qui donna la célèbre formule de Stirling.
  • Euler qui débrouilla la théorie du logarithme. Auteur de la célèbre relation entre e, i et pi. Un des premiers qui s'intéresse aux fonctions complexes.
  • Legendre à qui l'on doit la théorie des fonctions elliptiques
  • Gauss
  • Laplace qui inventa la méthode d'estimation des intégrales qui porte son nom. Et qui utilisa la transformation de Laplace...
  • Poisson qui dans un article de 1813 fait le lien entre "étrangetés" en variable réelle et comportement de la fonction dans le plan complexe.
  • Argand, ... qui interprètent entre 1785 et 1830 les nombres complexes en terme géométrique.
  • Cauchy et la théorie des résidus, l'intégrale complexe, le rayon de convergence,...
  • Riemann à qui l'on doit le théorème de l'application conforme (qui ne sera vraiment démontré que par Koebe en 1913), la théorie de la fonction zêta de Riemann (ébauche), ...
  • Weierstrass étude des singularités essentielles ...
  • Casorati
  • Laurent développement au voisinage d'un pôle...
  • Picard ses deux théorèmes (le petit et le grand) sur les valeurs exceptionnelles
  • Borel La théorie des séries divergentes, des transformations intégrales, de la croissance, ...
  • Hadamard Théorème de décomposition, le théorème des nombres premiers, ...
  • Landau
  • Jensen Formule de Jensen
  • Koebe
  • Cahen Théorie des séries de Dirichlet
  • Montel familles normales, théorème de Montel, ...
  • Valiron
  • Blumenthal théorie des fonctions d'ordre infini