Sinus hyperbolique

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Graphe de la fonction sinus hyperbolique sur une partie de R

Le sinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Valeurs
4 Fonction réciproque
5 Voir aussi

[modifier] Définition

La fonction sinus hyperbolique, notée sinh (parfois, mais plus rarement, sh) est la fonction complexe suivante :

$\begin{matrix} \sinh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {e^z-e^{-z}} {2} \end{matrix}$

où $e$ est la fonction exponentielle complexe.

La fonction sinus hyperbolique est en quelque sorte l'analogue de la fonction sinus dans la géométrie hyperbolique.

[modifier] Propriétés

[modifier] Propriétés générales

sinh est continue et infiniment dérivable.
La dérivée de sinh est cosh, la fonction cosinus hyperbolique.
Les primitives de sinh sont cosh+C, à une constante d'intégration C près.
La restriction de sinh à $\mathbb R$ est impaire et strictement croissante.

[modifier] Propriétés trigonométriques

De part les définitions des fonction sinus et cosinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :

e z = cosh(z) + sinh(z)

e - z = cosh(z) - sinh(z)

Ces égalités sont analogues à la formule d'Euler en trigonométrie classique.

De même que les coordonnées (cos(t), sin(t)) définissent un cercle, (cosh(t),sinh(t)) définissent la branche positive d'une hyperbole équilatérale. On a en effet pour t>0 :

cosh 2 (t) - sinh 2 (t) = 1

D'autre part, pour $x \in \mathbb R$ :

$\sinh(i x) = \frac{(e^{i x} - e^{-i x})}{2} = i \sin(x)$

sinh(x) = - i sin(i x)

sinh(x + y) = sinh(x)cosh(y) + cosh(x)sinh(y)

$\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh(x)-1}{2}$

[modifier] Développement en série de Taylor

sinh, étant indéfiniment dérivable, possède un développement en série de Taylor en tout point :

$\sinh z = z + \frac {z^3} {3!} + \frac {z^5} {5!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$

[modifier] Valeurs

Quelques valeurs de sinh :

$sinh(0) = 0$
$\sinh(1) = \frac {e^2-1}{2e}$
$sinh(i) = i sin(1)$

[modifier] Fonction réciproque

sinh admet une fonction réciproque, notée arcsinh. Il s'agit d'une fonction à valeurs multiples complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure les segments $\left]-\infty i;-i\right[$ et $\left]i;+\infty i\right[$ .