Quadrature de la parabole

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La quadrature de la parabole est le calcul d'une aire délimitée par une parabole. Elle est réalisée par Archimède (-287 à -212), complétant la méthode d'exhaustion d'Eudoxe (-406 à -355) par un encadrement.

C'est un des premiers calculs d'intégration en mathématiques. Il apparaît dans une lettre d'Archimède à Dositée.

Sommaire

[modifier] Calcul moderne

Soit y = \frac{x^2}{2p}, l'équation de la parabole.

L'aire de la surface située sous l'arc projeté en abscisse sur l'intervalle [0,x0] est par intégration:

A = \int_0^{x_0}\frac{x^2}{2p}\,dx = \left[\frac{1}{3}\frac{x^3}{2p}\right]_0^{x_0}= \frac{1}{3} \frac{x_0^3}{2p} = \frac{1}{3}y_0 x_0 avec y_0 = \frac{x_0^2}{2p}

[modifier] Calcul d'Archimède

[modifier] Principe

La notion d'infini est quasiment interdite en mathématiques grecques, car « on peut y dire trop de bêtises ». Le statut des infinitésimaux n'existe évidemment pas. En revanche, la méthode des trapèzes conduite jusqu'à son exhaustion est considérée comme une borne inférieure par Eudoxe. Archimède y rajoutera la surface extérieure, comme borne supérieure. L'aire à quarrer était ainsi encadrée.

Ainsi les éléments essentiels de l'analyse infinitésimale étaient fondés : majorer, minorer, au mieux, jusqu'à réduire l'encadrement à zéro ; c'est gagné : la limite d'une suite réelle croissante un majorée existe (resp : suite décroissante vn minorée). Si (vn − un) tend vers zéro, la limite est commune et définit un réel. Les deux suites sont dites adjacentes.

[modifier] Développement

Archimède cherche à calculer l'aire P du triangle curviligne entre les points d'abscisse a et d'abscisse b. Il dessine alors un triangle passant par les points d'abscisse a, d'abscisse b et d'abscisse \frac{a + b }{2}. Il décide donc d'approcher P par l'aire S de ce grand triangle. Puis il recommence dans les petits triangles curvilignes laissés pour compte.

Il démontre que l'aire de chaque petit triangle est égal au huitième de l'aire du grand triangle, en démontrant que la distance horizontale a été divisée par deux, tandis que la flèche a été divisée par 4. Il peut alors approcher P par l'aire du grand triangle et des deux petits : S + \frac S4, puis, continuant ainsi, il approche l'aire de la parabole par Sn.

S_n= S + \frac S4 + \frac{S}{16} + ...+ \frac{S}{4^n}.

On sait, dès cette époque, que Sn peut s'écrire

S_n=\frac 43 S - \frac 13 \frac{S}{4^n}

mais on ne sait pas passer à la limite. On sait seulement utiliser le principe d'exhaustion

Principe d'exhaustion : étant données deux grandeurs inégales, si de la plus grande on retranche plus que sa moitié puis du reste ainsi obtenu on retranche encore plus que sa moitié et si l'on continue toujours ainsi, nous aboutirons finalement à une grandeur inférieure à la plus petite des grandeurs données.

Archimède envisage alors 3 possibilités : ou bien P est plus grande que \frac 43 S , ou bien P est plus petite que \frac 43 S , ou bien P égale \frac 43 S

  • Si P était plus grande que \frac 43 S
Il démontre que la différence entre P et Sn peut être rendue aussi petite que l'on souhaite. En effet, à l'aire de la parabole, on retranche l'aire du triangle qui représente plus de la moitié de l'aire de la parabole car l'aire du triangle vaut exactement la moitié de l'aire du parallélogramme dessiné, aire plus grande que l'aire de la parabole. Et ainsi de suite à chaque étape. Il peut donc rendre P − Sn plus petite que P - \frac 43 S . Ce qui voudrait dire que Sn serait supérieure à \frac 43 S. Impossible d'après l'expression de Sn
  • Si P est inférieure à \frac 43 S
Selon le même principe d'exhaustion, on peut rendre la différence \frac 43 S - S_n aussi petite que l'on veut, puisque à chaque étape on retranche les 3/4 de ce qui reste. On pourrait donc la prendre plus petite que \frac 43 S - P. Ce qui voudrait dire que Sn serait plus grande que P. Impossible d'après la construction de Sn.

Les deux cas étant éliminés, il ne reste plus que le cas P = \frac 43 S

Il est intéressant de voir que le terme "aussi petite qu'on le souhaite" est très proche de la notion de limite qu'Archimède ne connaît pas. Il est donc contraint de raisonner par l'absurde pour prouver son égalité.

[modifier] Quadrature par la méthode des pesées

Archimède propose dans le même ouvrage une présentation mécanique de la quadrature qui démontre son génie mécanique . Le principe en est détaillé ci-dessous, mais la démonstration réelle est plus longue et procède par encadrement avec des aires de trapèzes.

Il décide de peser la parabole par un système de levier.

La figure présentée ici est une simplification de celle figurant dans l'ouvrage d'Archimède. La droite (AC) est tangente en A à la parabole , le segment [BC] est parallèle à l'axe de la parabole. Le point D se projette, parallèlement à l'axe de la parabole, sur le milieu de [AB].

L'idée est d'équilibrer le triangle ABC, suspendu en son centre de gravité G par une masse placée en A'.

Archimède procède par segment. Le triangle ABC suspendu en Hg peut être remplacé par une multitude de segments MP suspendus en H. Archimède a déjà démontré (traité sur les paraboles) que MN est à MP ce que BM est à BA. On dirait maintenant :

\frac{MN}{MP}=\frac{BM}{BA}. (1)

Grâce au théorème de Thalès, on a aussi l'égalité

\frac{BM}{BA}= \frac{OH}{OA} (2)

Donc

\frac{MN}{MP}=\frac{OH}{OA} = \frac{OH}{OA'}

Puis :

OH \times MP = OA' \times MN

Le segment [MN] placé en A' équilibre donc le segment [MP] placé en H.

Segment par segment, il équilibre donc le triangle ABC placé en Hg par la portion de parabole placée en A' . Donc

Aire de la parabole \times OA' = Aire du triangle \times OHg.

Comme OHg = \frac 13 OA alors

Aire de la parabole = \frac 13 aire de ABC.

Enfin, dans le même traité sur les paraboles, Archimède a déjà démontré que l'aire de ABC vaut 4 fois l'aire de ABD.

L'aire de la parabole vaut donc \frac 43 de l'aire du triangle ABD

[modifier] Sources