Théorème des suites adjacentes

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Le théorème des suites adjacentes concerne les suites réelles et précise que deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

[modifier] Définition et énoncé

Définition:

les suites (an) et (bn) sont dites adjacentes si l'une des suites est croissante (au sens large), l'autre suite décroissante au sens large et si la différence des deux tend vers 0.

On supposera par la suite que (an) est croissante et (bn) est décroissante.

On trouve souvent la condition supplémentaire : pour tout entier n, a_n \leq b_n. Cette condition permet de mieux visualiser ce que représentent deux suites adjacentes, elle n'est cependant qu'une conséquence des deux autres conditions.

si (an) est croissante et (bn) décroissante alors (bn − an) est décroissante. Si la suite (bn − an) est décroissante et converge vers 0 alors (bn − an) est une suite à termes positifs. Donc, pour tout n, b_n - a_n \geq 0 donc b_n \geq a_n.

Le théorème des suites adjacentes stipule que , dans ces conditions, les suites convergent vers le même réel \ell et que, pour tout entier n, a_n \leq \ell \leq b_n.

Ce théorème est une conséquence de la propriété de la borne supérieure: tout ensemble de réels non vide et majoré possède une borne supérieure. Ce théorème n'est donc pas valable si on travaille dans l'ensemble des rationnels et que l'on cherche une limite rationnelle. On démontre même que cette propriété est équivalente à celle de la borne supérieure. Elle offre l'avantage, par rapport à la propriété des suites croissantes majorées, de faire plus que prouver la convergence d'une suite. Elle en donne un encadrement aussi fin qu'on le souhaite.


Démonstrations

Si tout ensemble non vide majoré possède une borne supérieure alors deux suites adjacentes convergent vers la même limite

Si tout ensemble non vide majoré possède une borne supérieure, alors tout ensemble non vide minorée possède une borne inférieure. En effet, si E est un ensemble non vide minoré alors - E est un ensemble non vide majoré. Il possède une borne supérieure B. Alors -B est la borne inférieure de - E.
L'ensemble A = \{a_n, \quad n \in \mathbb N\} est un ensemble non vide majoré par b0. Il possède donc une borne supérieure Ma. Cette borne supérieure est la limite de la suite (an). En effet, pour tout \varepsilon positif, M_a - \varepsilon n'est pas un majorant de A. Donc il existe un entier N, tel que a_N \geq M_a - \varepsilon . Comme la suite est croissante, pour tout n \geq N, on aura M_a \geq a_n \geq M_a - \varepsilon. Ce qui prouve que la suite (an) converge vers Ma.
On démontre de même que la suite (bn) converge vers un réel Mb
Puisque la suite (bn − an) converge vers 0, on aura Ma = Mb. Les suite convergent donc vers la même limite

Si toutes suites adjacentes convergent vers la même limite alors tout ensemble non vide majoré possède une borne supérieure.

Soit E un ensemble contenant un élément x et majoré par M.
Si x est un majorant de E alors x est la borne supérieure de E.
Sinon, on procède par dichotomie pour prouver que E\, possède une borne supérieure (plus petit des majorants). On crée deux suites (a_n)\, et (b_n)\, définies par récurrence de la manière suivante :
a_0=x\, et b_0 = M\,
pour tout entier n\,,
si a_n+b_n \over 2 est un majorant , a_{n+1} = a_n\, et b_{n+1}={a_n+b_n \over 2 }
si a_n+b_n \over 2 n'est pas un majorant , a_{n+1} = {a_n+b_n \over 2 } et b_{n+1}=b_n\,
Le principe de construction assure que
la suite (an) est une suite croissante dont aucun terme n'est majorant de E
la suite (bn) est une suite décroissante dont tous les termes sont majorants de E
pour tout entier n, |b_n - a_n|= 2^{-n}(M-x)\,, donc la suite (bn − an) converge vers 0.
Les suites sont donc adjacentes et convergent vers la même limite \ell.
Il reste à montrer que \ell est bien la borne supérieure.
Pour tout réel y\, de E\,, y \leq b_n car b_n\, est un majorant. Donc par passage à la limite, pour tout réel y\, de E\,, y \leq \ell. \ell est donc bien un majorant de E\,.
Pour tout réel M'\, majorant de E\,, a_n < M'\, car a_n\, n'est jamais un majorant. Par passage à la limite, pour tout majorant M'\, de E\,, \ell\leq M'. \ell est bien le plus petit des majorants.

Pour tout n, a_n \leq \ell \leq b_n

C'est une simple conséquence de la construction de la limite \ell. C'est la borne supérieure de l'ensemble A = \{a_n, \quad n \in \mathbb N\} donc, pour tout entier n, a_n \leq \ell. C'est la borne inférieure de l'ensemble B = \{b_n, \quad n \in \mathbb N\} donc, pour tout entier n, b_n \geq \ell.

[modifier] Utilisation

On rencontre le théorème des suites adjacentes dans tous les problèmes utilisant la méthode de la dichotomie, dans le développement décimal d'un réel, dans l'écriture en fraction continue ainsi que dans de nombreux problèmes de quadrature (quadrature du cercle, de la parabole).

On retrouve une variante des suites adjacentes dans le critère de Leibniz sur les séries alternées : si (un) est une suite à termes positifs décroissante et convergeant vers 0, la série S_n= \sum_0^n (-1)^ku_k converge.

En effet, les suites (an) et (bn) définies par bn = S2n et an = S2n + 1 sont des suites adjacentes qui convergent donc vers la même limite \ell.