Méthode des trapèzes

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant l'analyse.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
Principe de la méthode : l'aire sous la courbe représentative de f est approchée par l'aire sous une droite affine (en rouge)
Principe de la méthode : l'aire sous la courbe représentative de f est approchée par l'aire sous une droite affine (en rouge)

En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

\int_{a}^{b} f(x)dx

Sommaire

[modifier] Intervalle unique

Le principe est d'approcher la région sous la courbe représentative de la fonction f par un trapèze et d'en calculer l'aire :

T=(b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment [a,b], l'erreur [1] est de la forme

\int_a^b f(x)\,dx -(b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2} = -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)

pour un certain \xi \in [a,b]\,.

Notamment, dans le cas d'une fonction convexe, l'aire du trapèze est une valeur approchée par excès de l'intégrale.

[modifier] Intervalles multiples

Pour obtenir de meilleurs résultats, on découpe l'intervalle [a,b] en n intervalles plus petits et on applique la méthode sur chacun d'entre eux :

\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{n} \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right) + R_n(f)


R_n(f)\, est l'erreur de quadrature [1] et vaut: -\frac{(b-a)^3}{12n^2}f''(\xi) pour un \xi \in [a,b]\,

La méthode des trapèzes consiste donc à remplacer la fonction par une fonction continue et affine par morceaux (opération d'interpolation linéaire) et à considérer l'aire de cette dernière comme valeur approchée de l'aire de la fonction initiale.

[modifier] Exemple d'approximation d'une fonction par des trapèzes

Voici le découpage d'une fonction f que l'on veut intégrer sur l'intervalle [0;2] f(x)=1.1 + \ln(e-\frac{x}{100}+\frac{3}{5}\operatorname{tanh}(\ln(x+10^{-7})+1))\cos \,x + \frac{2}{5}(x-\frac{\cos(3x)}{5})^2 \,\! \cdot \cdot \cdot + \frac{11}{100} \sqrt{2+2x} \sin (\frac{44}{25}(4+3\sqrt{x})x-\frac{19}{20}x^5)-e^{\frac{x}{3}} \,\!


Découpage pour différentes valeurs de n (2,8 et 16).
Exemple avec n=2Exemple avec n=8Exemple avec n=16

[modifier] Divers théorèmes

Théorème : Si f est 2 fois continûment différentiable sur [a,b], la méthode des trapèzes est convergente sur C2([a,b]).
Théorème : La méthode des trapèzes est stable.

[modifier] Lien avec les autres méthodes d'intégration

La méthode des trapèzes est une application des formules de Newton-Cotes, la méthode de Simpson en est une autre, plus précise.

La méthode de Romberg est un procédé d'accélération de la convergence de la méthode des trapèzes.

[modifier] Voir aussi

  1. ↑ a  b  En métrologie, l'erreur est définie comme la différence Valeur approchée - Valeur réelle soit l'opposé de l'erreur définie dans cet article, qui, en métrologie, porte le nom de correction (Aimé Defix, Éléments de métrologie générale et de métrologie légale, p 72-74)