Multiplication complexe

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Cet article concerne certains anneaux d'endomorphismes. Pour plus d'information sur la multiplication des nombres complexes, voir nombres complexes.

En mathématiques, la multiplication complexe est la théorie des courbes elliptiques E qui ont un anneau d'endomorphisme plus grand que les entiers; et aussi la théorie dans les dimensions élevées de variétés abéliennes A ayant suffisamment d'endomorphismes dans un certain sens précis (cela signifie grossièrement que l'action sur l'espace tangent pour l'élément identité de A est une somme directe de modules à une dimension). Cette théorie est liée au 12^e problème de Hilbert.

[modifier] Exemple

Un exemple de courbe elliptique avec multiplication complexe est

$\mathbb{C} / \mathbb{Z}[i]\theta\,$

où $\mathbb{Z}[i]\,$ est l'anneau des entiers de Gauss, et $\theta\,$ est n'importe quel nombre complexe différent de zéro. Tout tore complexe de la sorte possède des entiers de Gauss comme anneau d'endomorphisme. Il est connu que les courbes correspondantes peuvent toutes être écrites sous la forme

Y 2 = 4 X 3 - a X .

De telles courbes ont un automorphisme évident d'ordre 4, celui qui envoie

$Y \rightarrow - iY\,$ , $X \rightarrow - X\,$

et correspond à l'action de i sur les fonctions elliptiques de Weierstrass associées à la courbe.

Ceci est un exemple typique d'une courbe elliptique avec multiplication complexe. Sur le corps des nombres complexes, de telles courbes sont toutes trouvées comme des quotients

plan complexe/réseau de périodes

dans lequel certains ordre dans l'anneau des entiers dans un corps quadratique imaginaire prend la place des entiers de Gauss.

[modifier] Théorie abstraite d'endomorphismes

Lorsque le corps de base est un corps fini, toute courbe elliptique admet des endormorphismes non triviaux ; la multiplication complexe est dans un sens typique (et la terminologie n'est pas souvent utilisée). En revanche, lorsque le corps de base est un corps de nombres, la multiplication complexe est un cas exceptionnel. Il est connu que, dans un cas général, le cas de multiplication complexe est le plus difficile à résoudre pour la conjecture de Hodge.

[modifier] Kronecker et les extensions abéliennes

Kronecker postula le premier que les valeurs des fonctions elliptiques aux points de torsion d'une courbe elliptique à multiplication complexe devraient être suffisants pour engendrer toutes les extensions abéliennes des corps quadratiques imaginaires, une idée qui remontait à Eisenstein dans certains cas, et même à Gauss. Ceci devint connu comme le Kronecker Jugendtraum (« rêve de jeunesse de Kronecker »).

Hilbert s'en inspira pour formuler son 12^e problème, qui porte sur la possibilité de rendre explicite la théorie des corps de classes, de la même façon que les racines de l'unité le font pour les extensions abéliennes du corps des nombres rationnels. Plusieurs généralisations des idées de Kronecker ont été cherchées ; elles se trouvent de manière légèrement oblique dans le courant principal de la philosophie de Langlands, et il n'existe pas de résultat définitif actuellement connu. Le rêve de jeunesse de Kronecker a été essnetiellement démontré (sous une forme corrigée) par H. Weber.

[modifier] Conséquence sur un échantillon

Ce n'est pas par hasard si

$e^{\pi \sqrt{163}} = 262537412640768743,99999999999925007...$

ou de manière équivalente,

$e^{\pi \sqrt{163}} = 640320^3+743,99999999999925007...$

est si proche d'un entier. Ce fait remarquable est expliqué par la théorie de la multiplication complexe, associé à une certaine connaissance des formes modulaires, et le fait que

$\mathbf{Z}\left[ \frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right]$

est un anneau factoriel. (Ici, $\mathbb{Z}[\alpha]= \{x+\alpha y ; x,y \in \mathbb{Z}\}\,$ puisque $\alpha^2=\alpha -41\,$ . En général, $S[\alpha]\,$ est l'ensemble de toutes les expressions polynômiales en $\alpha\,$ à coefficients dans S, qui est le plus petit anneau contenant $\alpha\,$ et S.)