Corps de nombres

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Un corps de nombres est une extension finie et algébrique du corps des nombres rationnels. Par le théorème de l'élément primitif (ou théorème de l'extension monogène), tout corps de nombres peut s'écrire sous la forme \mathbf{Q}(\alpha) où α est un élément de K algébrique sur \mathbf{Q}(\alpha).

Tout corps de nombres K peut ainsi être plongé comme un sous-corps de \mathbf{C}: il suffit d'envoyer α sur un nombre complexe ayant même polynôme minimal. Un tel élément existe, car tout polynôme a une racine dans \mathbf{C}; autrement dit \mathbf{C} est algébriquement clos. Réciproquement, le corps \mathbf{Q}(\alpha) est un corps de nombre pour tout nombre complexe α nombre algébrique sur \mathbf{Q}.

En outre, tous les éléments de K sont alors des nombres algébriques, dont le degré divise la dimension de K en tant qu'espace vectoriel sur \mathbf{Q}. Réciproquement les sous-corps de \mathbf{C} qui sont des corps de nombres sont ceux qui sont engendrés par un nombre fini de nombres algébriques.

En arithmétique les corps de nombres ont des propriétés très semblables aux corps de fonctions sur des courbes algébriques sur des corps finis.