Formules de Newton-Cotes

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En analyse numérique, les formules de Newton-Cotes, du nom d'Isaac Newton et de Roger Cotes, sont un ensemble de formules pour le calcul numérique d'une intégrale.

La fonction f est connu à des points équidistants $x i$ , pour i = 0, ..., n. Les formules de degré n sont définies ainsi :

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)$

où $x i = i h + x 0$ , les $w i$ sont appelés les coefficients de quadrature. Comme vous pouvez le voir dans l'écriture qui suit, ces poids dérivent d'une base lagrangienne de polynômes. Ils ne dépendent que des x_i et absolument pas de la fonction f. L(x) est l'interpolation lagrangienne pour les points ((x₀, f(x₀) ) ,.., (x_n, f(x_n) ).

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b L(x)\,dx = \int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x)\, dx$

$=\sum_{i=0}^n \int_a^b f(x_i) l_i(x) dx=\sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{ \int_a^b l_i(x) dx}_{w_i}$

Une formule de Newton-Cotes peut être établie à n'importe quel degré. Toutefois, la non-stabilité et la non-convergence des formules de Newton-Cotes contraint à n'utiliser que les degrés 1 ou 2.

Degré	Nom commun	Formule	Terme d'erreur
1	Méthode des trapèzes	$\frac{h}{2} (f_0 + f_1)$	$-\frac{h^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)$
2	Méthode de Simpson	$\frac{h}{6} (f_0 + 4 f_1 + f_2)$	$-\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi)$
3	Méthode de Simpson 3/8	$\frac{3\, h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3)$	$-\frac{3\, h^5}{80}\,f^{(4)}(\xi)$
4	Méthode de Bode	$\frac{2\, h}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4)$	$-\frac{8\, h^7}{945}\,f^{(6)}(\xi)$

[modifier] Démonstration

Le polynôme d'interpolation $L (x)$ de f est (Voir Interpolation lagrangienne) :

$L(x)=v_n(x) \sum_{i=0}^n \frac{y_i}{(x-x_i)v'_n(x_i)}$

où $v_n(x)=\prod^{n}_{j=0}(x-x_j)$ . D'où

$w_i=\int_a^b \frac{v_n(x)}{(x-x_i)v'_n(x_i)}dx$

On effectue le changement de variable $y=\frac{x-a}{h}$

$w_i= \frac{b-a}{n}\frac{(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!} \int_0^n \prod_{k=0,k \ne i}^n (y - k)dy$

[modifier] Application pour n = 1

$\begin{matrix} w_0 &=& h \frac{(-1)^{1-0}}{0!(1-0)!} \int_0^1 \prod_{k=0,k \ne 0}^1 (y - k)dy \\ &=& -h \int_0^1(y-1)dy \\ &=& -h \left[ \frac{(y-1)^2}{2} \right]^1_0 \\ &=& \frac{h}{2} \end{matrix}$
Idem pour $w_1 = \frac{h}{2}$