Superficie
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
L'aire ou la superficie est la mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par exemple, on parle de la « surface d'un carré » alors qu'il faudrait parler de son aire).
Le terme aire (du bas latin aera espace plan) est utilisé en mathématiques.
Le terme superficie est utilisé principalement pour des terrains (superficie d'un jardin, d'un champ) et s'exprime (dans le système international d'unités) en mètres carrés (m²).
D'autres unités de mesures peuvent être employées dans le système métrique :
- l'are (1 a = 100 m²) ;
- l'hectare (1 ha = 10 000 m²) ;
- le kilomètre carré (1 km2 = 1 000 000 m² = 100 ha).
Avant la mise en place du système métrique, d'anciennes unités étaient employées, notamment l'acre et l'arpent.
[modifier] Calcul de l'aire
Articles détaillés : aire de surfaces usuelles et intégrale.En mathématiques, le calcul d'aire est d'abord évalué pour les surfaces usuelles, puis s'étend aux portions de plan délimité par une courbe (par exemple l'intérieur d'un cercle ou d'une ellipse) grâce au calcul intégral. La géométrie différentielle permet d'élargir ce calcul aux variétés de dimension 2, notamment les surfaces de révolution.
Le calcul de l'aire pour des figures géométriques élémentaires est simple. Les polygones plus complexes peuvent se découper en triangles, et l'on peut alors calculer l'aire de chaque triangle :
- en géométrie euclidienne, l'aire d'un triangle est la moitié du produit de la longueur de sa base par sa hauteur.
Lorsqu'il s'agit d'une surface délimitée par une courbe, on fait une approximation de cette courbe par un polygone et l'on applique la méthode ci-dessus pour avoir une approximation de l'aire ; si cette courbe peut s'exprimer par une fonction, il suffit de calculer l'intégrale de cette fonction.
Lorsqu'il s'agit d'une surface de révolution, il suffit de connaître la longueur de l'arc de la courbe plane engendrant cette surface et la position du barycentre de la courbe, puis d'appliquer le théorème de Guldin.
On peut comparer des aires par superposition, inclusion ou décomposition-recomposition. Dans ce cas la mesure et le calcul sont inutiles. Il est intéressant de travailler sur les aires de cette façon avant d'apprendre les formules de calculs pour bien comprendre le sens de la grandeur en jeu.
