Règles de Bioche

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Les règles de Bioche, en mathématiques, sont des règles de changement de variable dans le calcul d'intégrales comportant des fonctions trigonométriques. Ces règles ont été inventées par Bioche lorsqu'il était professeur en mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand. Dans la suite, $f (t)$ est une expression rationnelle en $s i n (t)$ et $c o s (t)$ , i.e. une expression obtenue à l'aide de $s i n (t)$ , $c o s (t)$ , des nombres réels et les quatre opérations $+, -, \times, /$ .

Ainsi, pour calculer $\int f(t)\mathrm{d}t$ , on forme $\,\omega(t) = f(t)\mathrm{d}t$ . Ensuite,

Si $ω( - t) = ω(t)$ , un changement de variable judicieux est $u (t) = c o s (t)$ .
Si $ω(π - t) = ω(t)$ , un changement de variable judicieux est $u (t) = s i n (t)$ .
Si $ω(π + t) = ω(t)$ , un changement de variable judicieux est $u (t) = t a n (t)$ .
Dans les autres cas, le changement de variable $u(t)=\mathrm{tan}\left(\frac{t}{2}\right)$ s'avère souvent judicieux. On se réferera à ce sujet à l'article sur les formules trigonométriques impliquant la tangente de l'arc moitié

Ces règles ne constituent pas un véritable théorème, mais elles conduisent souvent au bon résultat et permettent le cas échéant de simplifier les calculs. Elles ne sont utilisables dans la plupart des cas que lorsque $f (t)$ comporte des fonctions trigonométriques. Dans le cas où f est une fraction rationnelle en sin et cos les règles de Bioche permettent toujours de se ramener à une primitive de fraction rationnelle qui se calcule aisément par décomposition en éléments simples.

[modifier] Exemples d’utilisation

Soit l'intégrale $\int \frac{\sin t}{1+\cos^2 t}{\rm d}t$ .

$\frac{\sin (-t)}{1+\cos^2 (-t)}{\rm d}(-t)=\frac{-\sin t}{1+\cos^2 (t)}(-{\rm d}t)$ (car $d( - t) = - d t$ et $sin$ est impaire et $cos$ paire)

Alors d'après la règle de Bioche, le meilleur changement de variable est $u = cos t$ .

Soit l'intégrale $\int \frac{1}{\cos^2 t(1+\tan t)}{\rm d}t$ .

$\frac{1}{(\cos^2 (\pi+t))(1+\tan(\pi+t))}{\rm d}(\pi+t)=\frac{1}{(\cos^2 t)(1+\tan t)}{\rm d}t$ (car $d(π + t) = d t$ et $cos(π + t) = - cos t$ et $tan(π + t) = tan t$ )

Alors d'après la règle de Bioche, le changement de variable le plus approprié est $u = tan t$ .

Une fois le changement de variable effectué, ces deux intégrales peuvent être calculées plus facilement car elles comportent des fonctions que l'on sait primitiver.

[modifier] Autre version : fonctions hyperboliques

Soit à calculer $\int{g(\cosh(t), \sinh(t))\,\textrm{d}t}$ . Si les règles de Bioche suggèrent de calculer $\int{g(\cos(t), \sin(t))\,\textrm{d}t}$ par u=cos(t) (resp. $s i n (t)$ , $t a n (t)$ , $t a n (t / 2)$ ) un changement de variable judicieux pour la première intégrale est $u = c o s h (t)$ (resp. $s i n h (t)$ , $t a n h (t)$ , $t a n h (t / 2)$ ). Dans tous les cas, le changement de variable $u = e t$ permet de se ramener à une primitive de fraction rationnelle, ce dernier changement de variable étant plus intéressant dans le quatrième cas ( $u = t a n h (t / 2)$ ).