Inégalité de Wirtinger

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L'inégalité de Wirtinger permet de comparer une fonction périodique centrée (c'est-à-dire de valeur moyenne nulle) et sa dérivée. Elle est issue de la théorie des séries de Fourier, et notamment de l'égalité de Parseval.

Intuitivement, la dérivation amplifie les différents termes du spectre en fréquence, et ce d'autant plus qu'ils sont d'ordre plus élevé. Donc l'énergie totale du signal dérivé est plus forte que celle du signal initial.

[modifier] Énoncé de l'inégalité

Soit f une fonction 2π-périodique, de moyenne nulle, de classe $\mathcal C^1$ par morceaux et continue. Alors

$\|f\|^2 = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 dt \leq \|f'\|^2 = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f'(t)|^2 dt~$

Démonstration : ces hypothèses permettent, par intégration par parties, d'écrire le lien entre les coefficients de Fourier de f et de sa dérivée $c n (f') = i n c n (f)$ . Puis on écrit l'égalité de Parseval pour ces deux fonctions :

$\|f'\|^2-\|f\|^2 = \sum_{n=1}^{+\infty} (n^2-1)|c_n(f)|^2+ \sum_{n=-\infty}^{-1} (n^2-1)|c_n(f)|^2 \geq 0~$

[modifier] Cas d'égalité

Soit f une fonction 2π-périodique, de moyenne nulle, de classe $\mathcal C^1$ par morceaux et continue. Si $\Vert f \Vert = \Vert f' \Vert$ , alors f est une fonction sinusoïdale

$f(x)=A\cos(x)+B\sin(x)=C\cos(x+\varphi)$

Démonstration : on reprend la formule du paragraphe précédent et comme tous les termes de la somme sont positifs, ils doivent tous s'annuler. Ainsi pour tout relatif n, $(n 2 - 1) | c n (f) | 2 = 0$ . Ou encore : pour tout relatif n autre que 1 ou -1, $c n (f) = 0$ . On reconnaît les coefficients de Fourier d'un polynôme trigonométrique de degré 1.