Polynôme trigonométrique

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Un polynôme trigonométrique (ou polynôme trigonométrique complexe) P est une entité mathématique, définie par une somme d'exponentielles :

$\forall t \in \mathbb{R}, P \left( t \right) = \sum_{k=-n}^{k=+n} c_k e^{i k t}$

Où on a noté (c_n)_n les coefficients de P.

[modifier] Somme de fonctions trigonométriques

En particulier, on peut exprimer tout polynôme trigonométrique comme somme de sinus et de cosinus :

$\forall t \in \mathbb{R}, P \left( t \right) = a_0 + \sum_{k=1}^{k=n} a_k \cos{kt} + i b_k \sin{kt}$

Avec (a_n)_n et (b_n)_n pour coefficients. Ces deux familles peuvent être déduites de (c_n)_n, et vice versa. Les coefficients a_n sont tous nuls si et seulement si le polynôme est impair. De même, les coefficients b_n sont tous nuls si et seulement si le polynôme est pair.

Une somme infinie de coefficients trigonométriques est appelée série trigonométrique.

[modifier] Théorème de Stone-Weierstraß

D'après le théorème de Stone-Weierstrass, pour toute fonction f continue et T-périodique, il existe une suite (T_n) de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f.

Cette propriété essentielle est, au travers du théorème de Fejér, également une conséquence de la convergence uniforme des séries de Fourier pour de telles fonctions.